Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 (Ngày thi 8-11-2016)- Năm học 2016-2017 - Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Trực Ninh (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HUYỆN TRỰC NINH 
(Đề thi gồm 01 trang) 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
NĂM HỌC 2016 -2017 
MÔN TOÁN LỚP 9 
Thi ngày 08 tháng 11 năm 2016 
 (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) 
------------------------------- 
Bài 1 (4,0 điểm). 
1) Rút gọn biểu thức: A = 
5 3 3 5
2 3 5 2 3 5
 

   
2) Cho 
2 2
1 1
x x x x
A
x x x x
 
 
   
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A 
b) Đặt B = A + x – 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B 
Bài 2 (4,0 điểm). Giải phương trình 
1) Giải phương trình : 
3
2 1 2 1
2
x
x x x x

      
2) Giải phương trình: 2 22 5 12 2 3 2 5x x x x x       . 
Bài 3 (3,0 điểm). 
1) Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải là lập phương 
của một số nguyên. 
 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 25 ( 6)x y y   
Bài 4 (7,0 điểm) 
 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên nửa 
đường tròn (O) (C khác A, C khác B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên 
AB, D là điểm đối xứng với A qua C, I là trung điểm của CH, J là trung điểm của 
DH. 
a) Chứng minh CIJ CBH 
b) Chứng minh CJH đồng dạng với HIB 
c) Gọi E là giao điểm của HD và BI. Chứng minh HE.HD = HC2 
d) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn 
nhất. 
Bài 5 (2,0 điểm). Cho , , 0a b c  . Chứng minh rằng 2
a b c
b c c a a b
  
  
. 
-------------------HẾT-------------------- 
Họ và tên thí sinh:.............. Họ, tên chữ ký GT1:.. 
Số báo danh:............... Họ, tên chữ ký GT2:.. 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
 Bài Câu Nội dung Điểm 
Bài 1 
(4 đ) 
Câu 1 
(1,75đ) 
1. Rút gọn biểu thức: A = 
5 3 3 5
2 3 5 2 3 5
 

   
A = 
5 3 3 5
2 3 5 2 3 5
 

   
 =
2( 5 3) 2(3 5)
2 6 2 5 2 6 2 5
 

   
0,75 
A = 
2 2
2( 5 3) 2(3 5) 2( 5 3) 2(3 5)
5 3 3 52 ( 5 1) 2 ( 5 1)
   
  
    
0,5 
A = 2 2 0,5 
Câu 2 
(2,25) 
2. 
2 2
1 1
x x x x
A
x x x x
 
 
   
a) ĐKXĐ: x 0 0,25 
   3 32 2 x x 1 x x 1x x x x
A
x x 1 x x 1 x x 1 x x 1
  
   
       
0,5 
     
   
x x 1 x x 1 x x 1 x x 1
x x 1 x x 1
x x 1 x x 1 x x x x 2 x
     
 
   
         
0,5 
b) B = A + x – 1=  
2
2 x x 1 x 2 x 1 x 1 2 2           0,5 
Dấu “=” xảy ra x 1 0 x 1     ( TM ĐKXĐ) 0,25 
Vậy GTNN của biểu thức B=-2 khi x=1 0,25 
Bài 2 
(4 đ) 
 1) Giải phương trình : 
3
2 1 2 1
2
x
x x x x

      
Câu 1 
(2đ) 
ĐKXĐ : x 1 0,25 
3
2 1 2 1
2
3
1 2 1 1 1 2 1 1
2
x
x x x x
x
x x x x

     

          
 0,5 
   
2 2 3
1 1 1 1
2

      
x
x x 
0,25 
3
1 1 1 1
2

      
x
x x (*) 0,25 
Nếu x 2 phương trình (*) 
3 3
1 1 1 1 2 1 4 1 3
2 2
 
             
x x
x x x x x
0,25 
PHÒNG GD-ĐT 
HUYỆN TRỰC NINH 
 HƯỚNG DẪN CHẤM THI 
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2016 - 2017 
Môn thi : Toán 9 
2 2 216( 1) 6 9 10 25 0 ( 5) 0 5             x x x x x x x (TM) 
Nếu 1 x 2  phương trình (*) 
3 3
1 1 1 1 2 4 3 1
2 2
 
             
x x
x x x x ( TM) 
0,25 
Vậy phương trình có nghiệm x=1 và x=5 0,25 
Câu 2 
(2đ) 
2) Giải phương trình: 2 22 5 12 2 3 2 5x x x x x       . 
Đặt 2 22 5 12, 2 3 2u x x v x x      ( 0, 0)u v  0,25 
2 2 2 2 2 22 5 12, 2 3 2 2 10 2( 5)u x x v x x u v x x             0,25 
Từ (1) 2 22( ) ( )( 2) 0) ( v u v u vu v u        (2) 0,25 
Vì 0, 0u v  , từ (2) suy ra: 2 0u v   . Vì vậy 
2 22 5 12 2 3 2 2x x x x      (3) 
0,25 
Bình phương 2 vế và thu gọn ta được phương trình 
2 22 3 2 3x x x    
0,25 
 
2 22
3 0 3 3
7 6 1 0 (7 7) (6 6) 02 2 3 2 3
3
( 1)(7 1) 0
3
1
1,1
71,
7
x x x
x x x xx x x
x
x x
x
x x tm
x x
      
    
           
 
 
  
 

    
  
0,5 
Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1, x= 
1
7
0,25 
Bài 3 
(3 đ) 
Câu 1 
(1,5đ) 
1) Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải 
là lập phương của một số nguyên. 
Giả sử 2016k + 3 = a3 với k và a là số nguyên. 
Suy ra: 2016k = a
3
 - 3 
Ta chứng minh a3 – 3 không chia hết cho 7. 
0,5 
Thật vậy: Ta biểu diễn a = 7m + r, với r  0;1; 1;2; 2;3; 3    . 0,25 
Trong tất cả các trường hợp trên ta đều có a3 – 3 không chia hết 
cho 7 
0,5 
Mà 2016k luôn chia hết cho 7, nên a3 – 3  2016k. ĐPCM 0,25 
Câu 2 
(1,5đ) 
2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
 2 25 ( 6)x y y   
Từ 2 25 ( 6)x y y   
Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16 
0,25 
Để ý trong phương trình chỉ chứa ẩn số x với số mũ bằng 2 , do 
đó ta có thể hạn chế giải với x là số tự nhiên. 
Khi đó: y+3+x  y+3-x . 
Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) là số chẵn 
Suy ra 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) cùng tính chẵn lẻ . Ta lại có tích 
của chúng là số chẵn , vậy 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) là 2 số chẵn. 
0,5 
Ta chỉ có cách phân tích - 16 ra tích của 2 số chẵn sau đây: 
-16 = 8 (-2) = 4 (-4) = 2 (-8) trong ®ã thõa sè ®Çu b»ng gi¸ trÞ 
(y+3+x). 
0,25 
Khi y+3+x= 8 , y+3-x = -2 ta cã x= 5 , y= 0. 
Khi y+3+x= 4 , y+3-x = -4 ta cã x= 4 , y= -3. 
Khi y+3+x= 2 , y+3-x = -8 ta cã x= 5 , y= -6. 
V× thÕ ph-¬ng tr×nh ®· cho cã c¸c nghiÖm : 
( x,y)        5,0 ; 5, 6 ; 4, 3 .     
0,5 
Bài 4 
(7 đ) 
H O
EI
J
D
C
BA
Câu a 
(1,5 đ) 
+ Vì ABC nội tiếp đường tròn đường kính AB nên AC BC 
 Suy ra BC CD (1) 
0,5 
+ Lập luận để chỉ ra IJ // CD (2) 0,5 
+ Từ (1) và (2) suy ra IJ BC 
+ Suy ra CIJ CBH (cùng phụ với HCB ) (3) 
0,5 
Câu b 
(2 đ) 
+) Trong vuông CBH ta có: tan
CH
CBH
BH
 (4) 
0,5 
+ Lập luận chứng minh được CJ // AB 
+ Mà CH  AB (gt) 
+ Suy ra CJ CH 
0,5 
+) Trong tam giác vuông CIJ ta có tan
CJ CJ
CIJ CI HI
CI HI
 (5) 
+ Từ (3), (4), (5) 
CH CJ
HB HI
  
0,5 
+ Xét CJH và HIB có 090HCJ BHI  và 
CH CJ
HB HI
 (cmt) 
+ Nên CJH đồng dạng với HIB 
0,5 
Câu c 
(1,5 đ) 
+ Lập luận để chứng minh được 090HEI  
0,5 
+ Chứng minh được HEI đồng dạng với HCJ 
+ Suy ra 
HE HI
HC HJ
 
0,5 
+ Suy ra HE.HJ = HI.HC 
+ Mà 
1 1
;
2 2
HJ HD HI HC  
+ Suy ra HE.HD = HC
2
0,5 
Câu d 
 (2 đ) 
K
450
N
M
H O
C
BA
+ Lấy điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho 045BOM 
+ Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M cắt AB tại N. Ta có 
M và N cố định. 
0,5 
+ Kẻ MK AB tại K 
+ Chứng minh được MON vuông cân tại M và KM = KN 
 Suy ra 045ANC  
Xét C M 
Ta có C M nên H K 
Do đó AH + CH = AK + KM = AK + KN = AN (không đổi) 
0,5 
+ Xét C khác M. 
Tia NC nằm giữa hai tia NA và NM 
Do đó 045ANC ANM 
+ HNC có 090NHC 
nên 090HNC HCN 
Mà 045HNC nên 045HCN 
Suy ra HNC HCN 
Suy ra HC < HN 
0,5 
+ Do đó AH + CH < AH + HN = AN 
+ Vậy Khi C ở trên nửa đường tròn (O) sao cho 045BOC thì 
0,5 
AH + CH đạt giá trị lớn nhất 
Bài 5 
(2 đ) 
Chứng minh rằng 2
a b c
b c c a a b
  
  
. 
Áp dụng BĐT Cauchy ta có 
 
2
2
a a
a b c a b c
b c a b c
     
  
0,5 
Chứng minh tương tự ta được 
2 2
;
b b c c
c a a b c a b a b c
 
     
0,5 
Suy ra 
 2
2
a b ca b c
b c c a a b a b c
 
   
    
0,5 
Dấu bằng xảy ra 0
a b c
b c a a b c
c a b
 

      
  
(Trái với giả thiết) 
Vậy dấu = không xảy ra suy ra đpcm. 
0,5