Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 THCS - Năm học 2017-2018 - Sở GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS 
NĂM HỌC 2017-2018
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
( Đề thi gồm 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho Rút gọn biểu thức với . 
b) Cho x, y, z là các số khác 0 và đôi một khác nhau thỏa mãn . Chứng minh .
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình .
b) Giải hệ phương trình . 
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Tìm các số thực sao cho và đều là số nguyên.
b) Tìm các số tự nhiên có dạng , biết rằng là một số chia hết cho 3267.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho hình bình hành có , đường phân giác góc cắt cạnh và đường thẳng lần lượt tại và. Gọi lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và.
Chứng minh rằng thuộc đường tròn .
Khi vuông góc với. 
a) Tiếp tuyến của tại cắt đường thẳng tại. Chứng minh rằng 
b) Đường tròn và cắt nhau tại điểm ( khác). Kẻ tiếp tuyến chung ( thuộc, thuộc và nằm cùng phía bờ ), dựng hình bình hành. Chứng minh .
Câu 5 (1,0 điểm)
 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
-----Hết-----
Họ và tên thí sinh : .................................................Số báo danh:.......................
Chữ kí giám thị 1:..................................Chữ kí giám thị 2:.................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
HƯỚNG DẪN CHẤM
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2017-2018
Môn: TOÁN
(Đáp án gồm có 5 trang)
(Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25; thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)
Câu
Nội dung kiến thức
Điểm
1(2,0 điểm)
1a)(1,0 đ)
Cho biểu thức Rút gọn biểu thức với .
0,25
0,25
0,25
0,25
1b)(1,0 đ)
Cho x, y, z là các số khác 0 và đôi một khác nhau thỏa mãn . Chứng minh
 .
Từ giả thiết ta có xy + yz + zx = 0(1)
0,25
0,25
Tương tự 
0,25
Từ (1) và (2) được điều cần chứng minh
0,25
2(2,0 điểm)
2a)(1,0 đ)
Giải phương trình (1)
Điều kiện, đặt 
0,25
Thay vào (1) ta có
0,25
+) Với a=b ta có vô nghiệm
0,25
+) Với 
PT đã cho có nghiệm duy nhất x = 3
0,25
2b)(1,0 đ)
Giải hệ phương trình . 
Thay (1) vào (2) được 
0,25
Thay vào (2) ta được : 
0,25
Thử lại : +) Với x = y = 0 thay vào (1) không thoả mãn.
0,25
+) Với thay vào (1) thoả mãn.
+) Với thay vào (1) thoả mãn.
Vậy nghiệm của hệ phương trình: 
0,25
3(2,0 điểm)
3a)(1,0 đ)
Tìm các số thực x sao cho và đều là số nguyên.
Điều kiện: 
Đặt , . Thay vào biểu thức , ta được: 
0,25
Do là số vô tỉ, nên , do đó 
0,25
0,25
Thử lại với thì thấy là số nguyên.
0,25
3b)(1,0 đ)
Tìm các số có dạng , biết rằng là một số chia hết cho 3267.
Gọi số thoả mãn đề bài là chữ số và 
Ta có là số chia hết cho 3267 nên 
0,25
- Nếu a = b thì ta có các số thoả mãn yêu cầu bài toán là 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.
0,25
- Nếu thì 
Mà , nên .
Khi đó 
Để là số chia hết cho 3267 thì phải là số chia hết cho 3 do đó hoặc 
0,25
+ Nếu , kết hợp với tìm được 
Khi đó (thoả mãn)
+ Nếu , kết hợp với tìm được 
Khi đó (thoả mãn)
+ Nếu , kết hợp với không là số tự nhiên thoả mãn
Vậy các số phải tìm là 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 74,47.
0,25
4(3,0 điểm)
4.1)(1,0 đ)
Cho hình bình hành ABCD có , đường phân giác góc cắt cạnh BC và đường thẳng CD lần lượt tại E và F. Gọi O, O’ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và CEF.
Chứng minh rằng O’ thuộc đường tròn (O).
Ta có cân tại B
do đó 
0,25
mà và suy ra 
lại có
(do OC ^ EF)
0,25
do đó D (g.c.g) nên 
Do đó các điểm O’, C, D, B thuộc cùng đường tròn 
0,25
4.2)(2,0 đ)
4.2a)(1,0đ)
2)Khi DE vuông góc với BC. 
a) Tiếp tuyến của (O) tại D cắt đường thẳng BC tại G. Chứng minh rằng 
E nằm giữa O và C
0,25
Do mà nên là phân giác của (1)
0,25
Do DB là phân giác ngoài đỉnh D của 
 ( 2 )
0,25
Từ (1) và (2) suy ra : 
0,25
4.2b)(1,0đ)
Đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại điểm H( H khác C). Kẻ tiếp tuyến chung IK( I thuộc (O), K thuộc (O’) và H, I, K nằm cùng phía bờ OO’), dựng hình bình hành CIMK. Chứng minh .
Gọi N là giao điểm của IK và CH
Chứng minh được tam giác IHN đồng dạng với CIN => 
Chứng minh được tam giác KNH đồng dạng với CNK hay N là trung điểm của IK
Mà CIMK là hình bình hành là trung điểm của MC
 thẳng hàng thẳng hàng
0,25
Gọi P là giao của OO’ và HCOO’ là trung trục của HC
N là trung điểm của CM 
0,25
Tứ giác OO’KI là hình thang, gọi Q là trung điểm của OO' 
là đường trung bình của hình thang
0,25
Do E nằm giữa O, C nên nên Q không trùng với P mà NP vuông góc với OO'
0,25
5(1,0 điểm)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Vì x, y, z dương, áp dụng BĐT Cô-si ta có:
+) 
+) (2)
0,25
Từ (1) và (2) => :. Tương tự :  ; 
 (3)
0,25
Chứng minh được (4)
Từ (3) và (4) có : 
0,25
khi thì nên giá trị lớn nhất của A bằng 
0,25