Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Vòng 2 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2015 - 2016
MÔN TOÁN - VÒNG 2
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1 (2 điểm):
Cho 
Tính giá trị của biểu thức: 
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: và 
Chứng minh rằng: 
Câu 2 ( 2điểm):
Giải phương trình: 
Giải hệ phương trình: 
Câu 3 (2 điểm):
Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên chia hết cho 1999 mà tổng các chữ số của nó bằng 1999.
Chứng minh rằng: là số vô tỉ 
Câu 4 ( 3 điểm):
Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung trong EF với A, E nằm trên đường tròn (O); B, F nằm trên đường tròn (O’). Gọi M là giao điểm của AB và EF.
Chứng minh và đồng dạng.
Gọi N là giao điểm của AE và BF. Chứng minh rằng 3 điểm O, N, O’ thẳng hàng.
Cho đường tròn (O;R) và đường tròn (O’;R’) tiếp xúc ngoài tại A. Một góc vuông CAD quay quanh điểm A sao cho điểm C nằm trên đường tròn (O) và điểm D nằm trên đường tròn (O’). Hãy tìm vị trí của hai điểm C, D để diện tích có giá trị lớn nhất.
Câu 5 (1 điểm):
 Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn: 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
------------- Hết-------------
Giám thị 1: .................................................. Giám thị 2: .................................................
SBD: ................... Họ và tên thí sinh: ..............................................................................
PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI
CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2015 - 2016
MÔN TOÁN - VÒNG 2
Thời gian làm bài: 150 phút
(Hướng dẫn chấm gồm 05 câu, 05 trang)
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1
1
 (1)
Từ (1) ta có 
Có 
Từ (2) và (3) ta có
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: và 
Chứng minh rằng: 
Từ và ta được:
+ Xét a + b = 0 ta được suy ra 
Tương tự với 2 trường hợp còn lại ta đều được (đpcm) 
0,25
0,25
0,25
0,25
2
1
 ĐK: 
KL: Phương trình có 1 nghiệm x = 2
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2
 Từ phương trình (1) ta suy ra: thế vào phương trình (2) thu gọn ta được:
* Nếu thế vào phương trình (1) ta được phương trình này vô nghiệm. 
* Nếu , trừ vế theo vế của phương này với phương trình (1) ta được: 
+ Nếu x = 3 thay vào phương trình (1) ta suy y2 = 0 suy ra y = 0
 => (x;y) = (3; 0) thoả mãn phương trình (2).
+ Nếu y =1 thay vào phương trình (1) ta suy (x - 2)2 = 0 
 => x = 2 => (x;y) = (2; 1) thoả mãn phương trình (2).
KL: Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y) = (3;0), (2; 1).
0,25
0,25
0,25
0,25
3
1
Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho 1999 mà tổng các chữ số của nó bằng 1999.
Thật vậy:
Có 3998 = 2. 1999
Xét số A = 199919991999....1999399839983998......3998 gồm x nhóm 1999 và y nhóm 3998 chia hết cho 1999
Tổng các chữ số của A là x(1+ 9+ 9+9) +y(3+9+9+8) = 28x + 29y
Ta cần tìm 1 cặp số nguyên dương x, y thỏa mãn 28x + 29y = 1999 (1)
 (2)
Vì x,y là số nguyên dương nên từ (1) suy ra 
Vì 1999 chia cho 28 dư 11 nên từ (2) ta có y chia cho 28 dư 11 từ đó 
Thế vào (1) ta có y = 11, x = 60 (tm)
Vậy tồn tại số A = 19991999...1999399839983998....3998 gồm 60 nhóm 1999 và 11 nhóm 3998 thỏa mãn đề bài.
0,25
0,25
0,25
0,25
Chứng minh rằng: là số vô tỉ 
Ta có: 
Nếu có thì 
Suy ra nếu vô tỉ thì cũng vô tỉ
Đặt 
Có là số vô tỉ nên là số vô tỉ (đpcm)
0,25
0,25
0,25
0,25
4
1
0,25
a
Có OM MO’ ( hai tia phân giác của 2 góc kề bù)
 (Cùng phụ với )
 (đpcm)
0,25
0,25
0,25
b
Gọi 
Có (góc ngoài của tam giác cân MAE)
 (vì MO’ là tia pg của )
 mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên AE // MO’
Có (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên mà 
Suy ra 
Có và AI, BK là các đường cao tương ứng 
 lại có MK = IN suy ra 
Mà 2 tia ON và OO’cùng nằm trên nửa mp bờ chứa tia OM suy ra 2 tia ON và OO’trùng nhau nên O,N,O’ thẳng hàng.(đpcm)
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Đặt 
Kẻ 
Suy ra H, K là trung điểm của AC; AD
 AK = R’.cos(900-) = R’.sin suy ra AD = 2 R’.sin
Có 
( không đổi)
Dấu bằng xảy ra 
KL: Khi thì diện tích tam giác CAD có giá trị lớn nhất.
0,25
0,25
0,25
0,25
5
 Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn: 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Ta có 
( Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương )
CMTT có 
Cộng từng vế 3 BĐT trên ta được
Dấu bằng xảy ra 
KL: GTLN của P là 
0,25
0,25
0,25
0,25
* Chú ý: Học sinh có thể làm cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
------------- Hết-------------