Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Vòng I+II - Năm học 2013-2014 - Phòng GD&ĐT Hải Dương

PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN TOÁN - VÒNG 1
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm): Cho biểu thức: 
	A = 
a. Rút gọn biểu thức A. b. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của A.	
Câu 2 (2,0 điểm): 
a) Giải phương trình: 
 b) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:
Câu 3 (2,0 điểm): 
a) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi thì : 
 b) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình: 	 	 (m là tham số).
	 Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
Câu 4 (3,0 điểm):
	1.Cho đường tròn tâm O bán kính R, điểm I nằm trong đường tròn khác điểm O. Qua I vẽ hai dây AB và CD vuông góc với nhau.
	a) Chứng minh rằng: Tổng IA2 + IB2 + IC2 + ID2 không phụ thuộc vị trí của điểm I trong đường tròn tâm O.
	b) Trong trường hợp điểm I cố định khác điểm O, hãy xác định vị trí của hai dây AB, CD để diện tích tứ giác ACBD đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.
 2. Cho hình vuông ABCD, các điểm M và N thay đổi trên các cạnh BC và CD sao cho góc. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Câu 5 (1,0 điểm):
 	Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 = 1 + x + x2 + x3 + x4
------------- Hết-------------
Giám thị 1: ................................................... Giám thị 2: .........................................
SBD: ................... Họ và tên thí sinh: ..............................................................................
( Chú ý: Học sinh không được sử dụng máy tính)
PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9
NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN TOÁN - VÒNG 2
Thời gian làm bài 150 phút
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1 ( 2 điểm): 
 a) Rút gọn biểu thức : .
 b) Xét dãy số: Tính 
Câu 2 (2 điểm):
 Giải phương trình : 
 Giải hệ phương trình: 
Câu 3 (2 điểm): 
 a) Tìm số nguyên a để phương trình sau có nghiệm nguyên
 .
 b) Chứng minh rằng giữa hai số vô tỉ khác nhau luôn tồn tại 2 số hữu tỉ.
Câu 4 (3 điểm):
Cho tam giác ABC cân tại A có ; AB = AC = b và BC = a .
 Chứng minh rằng : a3 + b3 = 3ab2 .
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. M là một điểm bất kì trên nửa đường tròn (M khác A và B). Hạ MH vuông góc với AB tại H. Gọi P, Q, I lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác MAH, MBH, AMB.
a) Chứng minh MI vuông góc với PQ.
b) Xác định vị trí của điển M trên nửa đường tròn để chu vi tam giác PHQ lớn nhất.
Câu 5 (1 điểm): 
Cho a, b, c là 3 số dương thoả mãn a + b + c = 4 
 	 Chứng minh rằng a + b + c > 2 
------------- Hết-------------
SBD: ................... Họ và tên thí sinh: ..............................................................................
Giám thị 1: .................................................. Giám thị 2: .................................................