Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 ( Vòng tỉnh THCS) - Năm học 2017-2018 - Sở Giáo dục và Đào tạo Kiên Giang (Có đáp án)

Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán 9 các tỉnh năm học 2017-2018 đợt 1 
1 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
KIÊN GIANG 
 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG 
TỈNH THCS 
Năm học: 2017 - 2018 
 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN 
 Thời gian làm bài: 150 phút 
Ngày thi: 13/3/2018 
(Đề thi có 01 trang gồm 6 câu). 
Câu 1. (3 điểm) 
1) Cho biểu thức 2 4 5A n n   ( n là số tự nhiên lẻ). Chứng minh rằng A 
không chia hết cho 8 . 
2) Cho số x  ; 0x x  thỏa mãn điều kiện: 2
2
1
7x
x
  . Tính giá trị các biểu 
thức: 5
5
1
B x
x
  . 
Câu 2. (3 điểm) 
Rút gọn biểu thức: 
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 ... 1
1 2 2 3 3 4 2017 2018
X              . 
Câu 3. (4 điểm) 
1) Giải phương trình: 3 23 2 27 8 9 6x x x    . 
2) Tìm 2 số m , n cùng dấu thỏa mãn điều kiện: 2m n đạt giá trị nhỏ nhất 
sao cho hai phương trình sau có nghiệm chung: 2 2 0x mx   ; 2 2 6 0x nx  
. 
Câu 4. (3 điểm) 
1) Cho phương trình:  2 2 3 3 0x m x m     . Tìm các giá trị của m để phương 
trình có một nghiệm nhỏ hơn 2 và một nghiệm lớn hơn 2 . 
2) Cho x , y , z , t là các số thực dương. Chứng minh rằng: 
2
x y z t
y z z t t x x y
   
   
. 
Câu 5. (3,5 điểm) Để có được tờ giấy khổ A4 (kích thước 
xấp xỉ 21cm  29,7 cm) người ta thực hiện như 
hình vẽ minh họa bên. 
Bước 1: Tạo ra hình vuông ABCD cạnh 21a  cm. 
Bước 2: Vẽ cung tròn tâm A bán kính AC cắt tia 
AD tại F . 
Bước 3: Tạo hình chữ nhật ABEF . 
Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán 9 các tỉnh năm học 2017-2018 đợt 1 
2 
Khi đó hình chữ nhật ABEF chính là tờ giấy A4 thông dụng hiện nay. 
Bạn An ngồi nghịch xếp tờ giấy A4 này theo đường thẳng AE , rồi xếp theo 
đường thẳng FM ( M là trung điểm BE ) khi mở tờ giấy ra. An ngạc nhiên thấy 
hai đường thẳng FM và AE vuông góc với nhau. Em hãy chứng minh giúp bạn 
An vẽ điều đó. 
Câu 6. (4 điểm) 
Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O , trên dây cung DC lấy điểm 
E sao cho 3DC DE , nối AE cắt cung nhỏ CD tại M . Trên cung nhỏ CB lấy 
điểm N sao cho cung nhỏ DM bằng cung nhỏ CN , nối AN cắt dây cung BC 
tại F . Chứng minh rằng: F là trung điểm của BC . 
----------------------HẾT------------------- 
Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán 9 các tỉnh năm học 2017-2018 đợt 1 
3 
LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2017-2018 
Câu 1. (3 điểm) 
1) Cho biểu thức 2 4 5A n n   ( n là số tự nhiên lẻ). Chứng minh rằng A 
không chia hết cho 8 . 
2) Cho số x  ; 0x x  thỏa mãn điều kiện: 2
2
1
7x
x
  . Tính giá trị các biểu 
thức: 5
5
1
B x
x
  . 
1) Ta có: 2 24 5 1 4 6n n n n      
     1 1 2 2 3n n n     . 
 Do n lẻ nên 1n và 1n là 2 số chẵn liên tiếp. 
   1 1n n   chia hết cho 8 . 
 Mà 2 3n lẻ  2 3n không chia hết cho 4 . 
   2 2 3n không chia hết cho 8 . 
     1 1 2 2 3n n n     không chia hết cho 8 . 
  đpcm. 
2) Ta có: 2
2
1
7x
x
  
2
1 1
9 3x x
x x
 
      
 
 (do 0x  ). 
3
1
27x
x
 
   
 
 3
3
1 1
3 27x x
x x
 
     
 
3
3
1
18x
x
   
2 3
2 3
1 1
18.7 126x x
x x
  
      
  
5
5
1 1
126x x
x x
     
5
5
1
123x
x
   . 
Câu 2. (3 điểm) 
Rút gọn biểu thức: 
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 ... 1
1 2 2 3 3 4 2017 2018
X              . 
Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán 9 các tỉnh năm học 2017-2018 đợt 1 
4 
 Tổng quát: 
 
   
 
2 22 2
2 22
1 11 1
1
1 1
n n n n
n n n n
   
  
   
   
 
 
 
2 2
2 2
1 2 1 1 1 1
1 1
n n n n n n
n n n n
            
       
 
 
 
     
1 1 1 1 1
1
1 1 1 1
n n n n
n n n n n n n n
  
    
   
 Vậy: 
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 ... 1
1 2 2 3 3 4 2017 2018
X              
1 1 1 1
1 1 1 .... 1
1.2 2.3 3.4 2017.2018
         
 2017 số 1 
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2017 1 ...
2 2 3 3 4 2016 2017 2017 2018
            
1 4072323
2018
2018 2018
   . 
 Vậy 
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 4072323
1 1 1 ... 1 .
1 2 2 3 3 4 2017 2018 2018
X               
Câu 3. (4 điểm) 
1) Giải phương trình: 3 23 2 27 8 9 6x x x    . 
2) Tìm 2 số m , n cùng dấu thỏa mãn điều kiện: 2m n đạt giá trị nhỏ nhất 
sao cho hai phương trình sau có nghiệm chung: 2 2 0x mx   ; 2 2 6 0x nx  
. 
1) 3 23 2 27 8 9 6x x x    
  2 23 2 3 2 9 6 4 9 6x x x x x       (Điều kiện 2
3
x

 ) 
  2 29 6 2 3 2 9 6 4 3 0x x x x x        
  2 29 6 4 2 3 2 9 6 4 3 2 0x x x x x x          
 
2
29 6 4 3 2 0x x x      
29 6 4 3 2x x x     
29 9 2 0x x    
2
3
1
3
x
x


 
 

 (thỏa mãn) 
Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán 9 các tỉnh năm học 2017-2018 đợt 1 
5 
Vậy phương trình có nghiệm là: 
2 1
; .
3 3
x
 
 
 
2) Do m , n cùng dấu nên: 
- Nếu 0m  ; 0n  thì: 2 2m n m n   . 
- Nếu 0m  ; 0n  thì:  2 2 2m n m n m n       . 
+ Gọi 0x là nghiệm chung của hai phương trình ta được: 
2
0 0
2
0 0
2 0
2 6 0
x mx
x nx
   

  
 có nghiệm chung 
 20 02 2 8 0x m n x     có nghiệm 0x . 
 
2
2 4.2.8 0m n     
 
2
2 64m n   
2 8
2 8
m n
m n
 
    
2 8m n   
Vậy 2m n đạt GTNN là 8 khi: 
2 8
2 8
m n
m n
 
   
+ TH1: 2 8m n  , ta được: 2
0 02 8 8 0x x   
2
0 04 4 0x x    0 2x   . Ta có: 
   
   
2
2
3
2 2 2 0
5
2 2 2 6 0
2
m
m
nn
      
 
      
 (thỏa mãn) 
+ TH2: 2 8m n   , ta được: 2
0 02 8 8 0x x    
2
02 2 0x   0 2x  . Ta có: 
2
2
3
2 .2 2 0
5
2 2 .2 6 0
2
m
m
nn
     
  
   
 (thỏa mãn) 
Vậy với 3m  và 
5
2
n  thì hai phương trình có nghiệm chung 0 2x   . 
Với 3m   và 
5
2
n

 thì hai phương trình có nghiệm chung 0 2x  . 
Câu 4. (3 điểm) 
1) Cho phương trình:  2 2 3 3 0x m x m     . Tìm các giá trị của m để phương 
trình có một nghiệm nhỏ hơn 2 và một nghiệm lớn hơn 2 . 
2) Cho x , y , z , t là các số thực dương. Chứng minh rằng: 
2
x y z t
y z z t t x x y
   
   
. 
Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán 9 các tỉnh năm học 2017-2018 đợt 1 
6 
1) Xét phương trình:  2 2 3 3 0x m x m     
Giả sử: 1 22x x  
Áp dụng Vi-et ta có: 
 
1 2
1 2
. 3
2 3
x x m
x x m
  

   
 Để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 2 và một nghiệm lớn hơn 2 thì: 
  
 
 
2
1 2 1 2 1 2
0 3 3 0
2 2 0 . 2 4 0
m m
x x x x x x
      
 
       
  
2 6 9 3 0
3 2 2 3 4 0
m m m
m m
     
 
      
2 5 12 0
3 11 0
m m
m
   
 
 
11
3
m  (do 2 5 12m m  luôn lớn hơn 0). 
Vậy với 
11
3
m  thì phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 2 và một nghiệm lớn 
hơn 2 . 
2) Đặt: 
x y z t
A
y z z t t x x y
   
   
x y z t
M
x y y z z t t x
   
   
y z t x
N
x y y z z t t x
   
   
4.
x y z t y z t x
M N
x y y z z t t x x y y z z t t x
          
       
Ta có: 
y t x z y t x z
N A
x y y z z t t x
   
    
   
   
   4 41 1 1 1
4.
y t x z
y t x z
x y z t y z t x x y z t x y z t
    
           
            
Chứng minh tương tự ta cũng có: 4A M  . 
8 2A M A N A .       
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 0x y z t    . 
Câu 5. (3,5 điểm) Để có được tờ giấy khổ A4 (kích thước 
xấp xỉ 
21cm  29,7 cm) người ta thực hiện như hình vẽ 
minh 
họa bên. 
Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán 9 các tỉnh năm học 2017-2018 đợt 1 
7 
Bước 1: Tạo ra hình vuông ABCD cạnh 21a  cm. 
Bước 2: Vẽ cung tròn tâm A bán kính AC cắt tia AD tại F . 
Bước 3: Tạo hình chữ nhật ABEF . 
Khi đó hình chữ nhật ABEF chính là tờ giấy A4 thông dụng hiện nay. 
Bạn An ngồi nghịch xếp tờ giấy A4 này theo đường thẳng AE , rồi xếp theo 
đường thẳng FM ( M là trung điểm BE ) khi mở tờ giấy ra. An ngạc nhiên thấy 
hai đường thẳng FM và AE vuông góc với nhau. Em hãy chứng minh giúp bạn 
An vẽ điều đó. 
Ta có: 2 2 21 2AC DB AB BC    (cm). 
Mà AC AF (C , F thuộc đường tròn tâm A ) 
21 2AF AC EB    . 
Xét ABE vuông tại B . 
Áp dụng định lý Pi – ta – go ta có: 
 
2
2 2 221 21 2 21 3AE AB BE     
Xét FME vuông tại E có: 
1 21 2
2 2
EM EB  
Áp dụng định lý Pi – ta – go ta có: 
2
2 2 2 21 2 21 621
2 2
FM FE ME
 
      
 
Ta có: 
21 3
3
21
AE
EF
  ; 
21 6
2 3
21 2
FM
ME
  
Xét AEF và FME ta có: 
Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán 9 các tỉnh năm học 2017-2018 đợt 1 
8 
90AFE FEM   
AE FM
EF ME
 
AEF FME ∽ (c.g.c) 
FEA FME  
Mà 90FEA HEM   90FME MEH    
FM AE  (đpcm). 
Câu 6. (4 điểm) 
Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O , trên dây cung DC lấy điểm 
E sao cho 3DC DE , nối AE cắt cung nhỏ CD tại M . Trên cung nhỏ CB lấy 
điểm N sao cho cung nhỏ DM bằng cung nhỏ CN , nối AN cắt dây cung BC 
tại F . Chứng minh rằng: F là trung điểm của BC . 
Gọi I là giao điểm BM và CD : 
EI ME
EI AB
AB AM
  
Kẻ OX vuông góc với DM OXD ADE ∽ (g.g) 
2 2
1
10
DX DE DE
OD AE DE AD
   

1
10
DX R  
2
10
DM R  
Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán 9 các tỉnh năm học 2017-2018 đợt 1 
9 
Xét DEM AEC ∽ 
ME DE MD
CE AE AC
   
2
2
1
.
10
ME DE MD
AE CE AC
   
1 1
5 6
ME ME
AE AM
    
1 1 1
6 6 2
EI AB CD ID EI DE CD       . 
CMI BNF  (g.c.g) 
1
2
BF CI BC   
 đpcm.