Đề thi chọn học sinh giỏi năm học: 2008 - 2009 môn: Toán 11 (hệ phổ thông)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
Năm học: 2008 - 2009
CỤM: HÀ ĐÔNG – HOÀI ĐỨC
Môn: TOÁN 11 ( HỆ PHỔ THÔNG)
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 29/03/2009
Câu 1 (5 điểm):
Có 4 học sinh lớp A, 5 học sinh lớp B, 6 học sinh lớp C. Chọn ngẫu nhiên 8 học sinh từ các học sinh trên. Tính xác suất để 8 học sinh được chọn có học sinh của cả ba lớp A, B, C.
Cho tập A gồm n phần tử (n ³ 4). Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k Î {1, 2, . . ., n} sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất.
Câu 2 (5 điểm):
Nhận dạng tam giác ABC biết:
1sinA+ 1sinB+ 1sinC= 1cosA2+ 1cosB2+ 1cosC2
Chứng minh rằng: 
Trung bình cộng của các số 2sin20, 4sin40, 6sin60, . . . , 180sin1800 bằng cot10.
Câu 3 (5 điểm):
Cho cấp số cộng, biết rằng tỷ số của tổng 13 số hạng đầu với 13 số hạng sau cùng bằng 12 , tỷ số của tổng tất cả các số hạng trừ ba số hạng đầu tiên với tổng tất cả các số hạng trừ trừ ba số hạng sau cùng bằng 43. Tìm số các số hạng của cấp số cộng đó.
Tìm giới hạn của dãy số (un) xác định bởi 
u1 = 1, u2 = 2, un+1= 12(un+ un-1), "n Î N*, n ³ 2.
Câu 4 (5 điểm):
Cho hình chóp S.ABC, O là một điểm bất kỳ bên trong tam giác ABC. Qua O vẽ những đường thẳng lần lượt song song với SA, SB, SC cắt các mặt (SBC), (SCA), (SAB) theo thứ tự tại A’, B’, C’.
Khi O di động trong DABC, CMR: OA'SA+ OB'SB+ OC'SC có giá trị không đổi.
Xác định vị trí của O để OA’.OB’.OC’ có giá trị lớn nhất.