Đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia lớp 12 THPT môn Toán - Năm học 2007-2008 (Có đáp án)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
LỚP 12 THPT NĂM 2008
Môn: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề).
Ngày thi: 29/01/2008.
Câu 1 (3 điểm). Hãy xác định số nghiệm của hệ phương trình (ẩn x, y) sau:
Câu 2 (3 điểm). Cho tam giác ABC có góc BEC là góc nhọn, trong đó E là trung
điểm của AB. Trên tia EC lấy điểm M sao cho BME = ECA. Kí hiệu a là số đo của góc BEC, hãy tính tỉ số theo a.
Câu 3 (2 điểm). Đặt m = 20072008. Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên n mà n < m và n(2n + 1)(5n + 2) chia hết cho m ?
Câu 4 (3 điểm). Cho dãy số thực (xn) được xác định như sau:
x1 = 0, x2 = 2 và với mọi n = 1, 2, 3, ... .
Chứng minh rằng dãy (xn) có giới hạn hữu hạn khi . Hãy tìm giới hạn đó.
Câu 5 (3 điểm). Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số gồm tối đa 2008 chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số 9 ?
Câu 6 (3 điểm). Cho x, y, z là các số thực không âm, đôi một khác nhau. Chứng minh rằng
Hỏi dấu bằng xảy ra khi nào ?
Câu 7 (3 điểm). Cho tam giác ABC, trung tuyến AD. Cho đường thẳng d vuông góc với đường thẳng AD. Xét điểm M nằm trên d. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của MB và MC. Đường thẳng đi qua E và vuông góc với d cắt đường thẳng AB tại P, đường thẳng đi qua F và vuông góc với d cắt đường thẳng AC tại Q. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định, khi điểm M di động trên đường thẳng d.
-----------------------------------------------HẾT--------------------------------------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Giám thị không được giải thích gì thêm.