Đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia Lớp 12 THPT năm 2005 môn Tin học(Bảng A - Đề 1) (Có đáp án)

Bộ giáo dục và đào tạo
đề thi chính thức
kì thi chọn học sinh giỏi quốc gia 
lớp 12 THPT năm 2005
 Môn: Toán. Bảng: A.
 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề).
 Ngày thi thứ nhất: 10 / 3 / 2005.
-----------------------------------
Bài 1: Xét các số thực x, y thỏa mãn điều kiện:
x – 3 = 3 – y .
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = x + y.
Bài 2: Trong mặt phẳng, cho đường tròn (O) cố định, bán kính R. Cho A và B là hai điểm cố định nằm trên đường tròn (O) sao cho ba điểm A, B, O không thẳng hàng.
Xét một điểm C nằm trên đường tròn (O), C không trùng với A và B. Dựng đường tròn (O1) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng BC tại C; dựng đường tròn (O2) đi qua B và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C. Hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại điểm thứ hai D khác C. Chứng minh rằng:
1/ CD Ê R ;
2/ Đường thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định, khi điểm C di động trên đường tròn (O) sao cho C không trùng với A và B.
( (O) kí hiệu đường tròn tâm O ).
	Bài 3: Trong mặt phẳng, cho bát giác lồi A1A2A3A4A5A6A7A8 mà không có ba đường chéo nào của nó cắt nhau tại một điểm. Ta gọi mỗi giao điểm của hai đường chéo của bát giác là một nút.
Xét các tứ giác lồi mà mỗi tứ giác đều có cả bốn đỉnh là đỉnh của bát giác đã cho. Ta gọi mỗi tứ giác như vậy là một tứ giác con.
	Hãy tìm số nguyên dương n nhỏ nhất có tính chất: có thể tô màu n nút sao cho với mọi i, k ẻ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} và i ạ k, nếu kí hiệu s(i, k) là số tứ giác con nhận Ai , Ak làm đỉnh và đồng thời có giao điểm hai đường chéo là một nút đã được tô màu thì tất cả các giá trị s(i, k) đều bằng nhau.
	ã Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
	ã Giám thị không giải thích gì thêm.