Đề thi chọn học sinh giỏi THPT cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2015-2016 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Đề 2) (Có đáp án)

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT 
Năm học 2015 – 2016
MÔN: TOÁN
Ngày thi 07/10/2015
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang
Câu 1 (5,0 điểm): 
Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn: . Chứng minh rằng: .
Câu 2 (4,0 điểm):
Tìm số nguyên dương n thỏa mãn (n – 1) không chia hết cho 5 và là số hữu tỉ.
Câu 3 (6,0 điểm):
Các đường tròn (C1), (C2), (C3) nằm trong mặt phẳng và tiếp xúc ngoài với nhau từng cặp. Gọi P1, P2, P3 thứ tự  là điểm tiếp xúc của (C2) và (C3), (C3) và (C1), (C1) và (C2). Gọi A, B là hai điểm khác P1, P2 và nằm trên (C3) sao cho AB  là đường kính của (C3). Đường thẳng AP2 cắt (C1) tại điểm thứ hai M, đường thẳng BP1 cắt (C2) tại điểm thứ hai N và các đường thẳng AP1, BP2 cắt nhau tại P.
Chứng minh rằng ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Câu 4 (5,0 điểm):
Tìm tất cả các hàm số f: R ® R thỏa mãn: 
f(f(x – y)) = f(x) – f(y) + f(x)f(y) – xy "x,yÎR.
------ HẾT ------
Họ và tên thí sinh:....................................................... Số báo danh:.................................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:...........................................................................................
Giám thị 2:..........................................................................................