Đề thi chọn học sinh giỏi THPT cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2016-2017 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Đề 2) (Có đáp án)

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH
Năm học 2016 – 2017
MÔN: TOÁN
Ngày thi 13/10/2016
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang
Câu 1 (4,0 điểm): 
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: . Chứng minh rằng:
Câu 2 (5,0 điểm): 
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương m, luôn tồn tại vô số số nguyên dương n thỏa mãn chia hết cho m.
Câu 3 (6,0 điểm): 
Cho tam giác ABC và điểm O bất kì nằm trong tam giác ABC. Đường thẳng (d) qua O, song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại J, G. Đường thẳng (d) qua O, song song với CA cắt BC, BA lần lượt tại F, I. Đường thẳng (d) qua O, song song với AB cắt CA, CB lần lượt tại H, E. Dựng các hình bình hành , , .
Chứng minh rằng các đường thẳng , , đồng quy.
Câu 4 (5,0 điểm): 
Cho hàm số f: ® thỏa mãn các điều kiện sau:
1) 
2) 
3) Tồn tại sao cho 
Trong đó là tập hợp các số nguyên dương.
a) Chứng minh rằng f(1) = 1, f(3) = 3.
b) Tìm tất cả các hàm f(n) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
------ HẾT ------
Họ và tên thí sinh:....................................................... Số báo danh:.........................................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:...................................................................................................
 Giám thị 2:...................................................................................................