Đề thi chọn học sinh giỏi THPT cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2018-2019 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Đề 1) (Có đáp án)

SỞ GDĐT NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH 
Năm học 2018 – 2019
MÔN: TOÁN
Ngày thi 11/09/2018
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang
Câu 1 (6,0 điểm).
Giải hệ phương trình: .
Câu 2 (4,0 điểm). 
Xét sự hội tụ của dãy số biết , .
Câu 3 (6,0 điểm).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các hình bình hành ABMN và ACPQ sao cho tam giác ABN đồng dạng với tam giác CAP. Gọi G là giao điểm của AQ và BM, H là giao điểm của AN và CP. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác GMQ, HNP cắt nhau tại E và F (E nằm trong đường tròn (O)). 
a) Chứng minh rằng ba điểm A, E, F thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng bốn điểm B, C, O, E cùng thuộc một đường tròn.
Câu 4 (4,0 điểm).
Bạn Thanh viết lên bảng các số 1, 2, 3,, 2019. Mỗi một bước Thanh xóa hai số a và b bất kỳ trên bảng và viết thêm số . Chứng minh rằng dù xóa như thế nào thì sau khi thực hiện 2018 bước trên bảng luôn còn lại số .
-----Hết-----
Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................
Họ và tên, chữ ký:	Giám thị 1:........................................................................................
 	Giám thị 2:........................................................................................