Đề thi chọn học sinh giỏi THPT cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2018-2019 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Đề 2) (Có đáp án)

SỞ GDĐT NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2018 - 2019
MÔN: TOÁN
Ngày thi:12/09/2018
(Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề)
Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang
Câu 1 (4,0 điểm).
Cho đa thức P(x) có hệ số nguyên và a, b, c là các số nguyên thỏa mãn và Chứng minh rằng: a + c = 2b.
Câu 2 (5,0 điểm). 
Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:
.
Câu 3 (6,0 điểm).
Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp trong đường tròn (O), đường tròn tâm I tiếp xúc với các tia AB, AD lần lượt tại E và F, đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại điểm T. Hai tiếp tuyến tại A và T của đường tròn (O) cắt nhau tại K. Các đường thẳng TE, TF lần lượt cắt đường tròn (O) thứ tự tại các điểm M, N (M, N khác T). 
a) Chứng minh rằng ba điểm K, M, N thẳng hàng.
b) Đường phân giác của góc BAC cắt đường thẳng MC tại P, đường thẳng KP cắt đường thẳng CN tại Q. Chứng minh rằng: Nếu N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADQ thì bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABC và ACD bằng nhau.
Câu 4 (5,0 điểm).
Với số n nguyên dương, đặt f(n) là số ước nguyên dương của n. Xét tập hợp và gọi là số nguyên tố thứ i ().
a) Chứng minh rằng: Nếu n thuộc G và là ước nguyên tố của n thì () là ước của n.
b) Với số nguyên tố gọi k, M là các số nguyên dương thỏa mãn và . Chứng minh rằng: Nếu và n thuộc G thì n chia hết cho 
-----Hết-----
Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .......................................
Họ và tên, chữ ký:	Giám thị 1:...............................................................................................
 	Giám thị 2:...............................................................................................