Đề thi chọn học sinh giỏi THPT cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2019-2020 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Đề 1) (Có đáp án)

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2019 - 2020
MÔN: TOÁN
Ngày thi: 11/9/2019
(Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề)
Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang.
Câu 1 (5,0 điểm).
Tìm x, y, z nguyên thỏa mãn hệ phương trình:
Câu 2 (5,0 điểm). 
Xét phương trình , 
a) Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n lớn hơn 2 phương trình trên có đúng một nghiệm dương duy nhất. 
b) Gọi là nghiệm dương duy nhất của phương trình trên. Tính .
Câu 3 (5,0 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD (D thuộc BC) và hai điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC sao cho MN song song với BC. Điểm P chuyển động trên đoạn thẳng MN. Lấy các điểm E, F sao cho .
a) Gọi I là giao của EF và AD. Chứng minh rằng I cố định khi P chuyển động trên đoạn MN.
b) Đường thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC tại Q. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ.
Câu 4 (5 điểm). 
Cho số nguyên dương n và tập hợp . Tìm số các tập con của S không chứa hai số nguyên dương liên tiếp.
-----Hết----
Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................
Họ và tên, chữ ký:	Giám thị 1:.....................................................................................
 	Giám thị 2:.....................................................................................