Đề thi chọn học sinh giỏi THPT cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2020-2021 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2020 - 2021
MÔN: TOÁN
Ngày thi: 07/10/2020
(Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề)
Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang.
Câu 1 (8,0 điểm) 
a) Giải phương trình: .
b) Cho các số thực dương . Chứng minh rằng: 
.
Câu 2 (4,0 điểm) 
Cho dãy số xác định bởi công thức: , (trong đó là số nguyên lớn nhất không vượt quá và ).
a) Tính sáu số hạng đầu của dãy số .
b) Tính giới hạn của dãy số .
c) Có bao nhiêu số hạng của dãy số với thỏa mãn: ?
Câu 3 (4,0 điểm) 
Cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm . Đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm , cắt đường thẳng tại điểm khác và cắt đường tròn Euler của tam giác tại hai điểm . Gọi theo thứ tự là các điểm đối xứng của qua . Chứng minh rằng:
a) .
b) Đường thẳng đi qua tâm đường tròn Euler của tam giác và hai đường thẳng đối xứng nhau qua đường phân giác trong của .
Câu 4 (4,0 điểm)
a) Cho số nguyên tố , số nguyên dương thỏa mãn và là ước nguyên tố của . Chứng minh rằng chia hết cho .
b) Cho số nguyên dương . Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho , có chữ số và các chữ số đều thuộc tập ?
---------- Hết ----------