Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Hà Giang môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HÀ GIANG 
NĂM HỌC 2017 – 2018 
Câu 1. 
a. Cho 4 7 4 7x     . Tính  
2017
4 3 2 2 1A x x x x     . 
b. Cho , ,ca b là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. 
Chứng minh rằng: 
     
2 2 2
1 1 1
A
a b b c c a
  
  
 là bình phương của một 
số hữu tỉ. 
Câu 2. 
a. Giải phương trình: 
2 2
2 13
6
2 5 3 2 3
x x
x x x x
 
   
. 
b. Cho 2( )P x x ax b   với ,a b N . Biết  1 2017P  . Tính    3 1P P  . 
Câu 3. Tìm các số nguyên dương n sao cho 4 3 1n n  là số chính phương. 
Câu 4. Cho , ,c 0a b  . Chúng minh rằng: 
 
2 2 2 2 2 2
2
b c c a a b
a b c
a b c
  
     . 
Câu 5. Cho ABC vuông cân tại A . Gọi D là trung điểm BC . Lấy M bất kỳ 
trên cạnh AD ,  ,M A D . Gọi ,N P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc 
của M xuống các cạnh ,AB AC và H là hình chiếu của N xuống đường 
thẳng PD . 
a. Chứng mính AH BH . 
b. Đường thẳng qua B , song song với AD cắt đường trung trực của AB 
tại I . 
Chứng minh ba điểm , ,H N I thẳng hàng. 
HẾT. 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
Câu 1. 
a. Ta có:    2 8 2 7 8 2 7 7 1 7 1 2x          2x  . 
Vậy 1A  . 
b. Ta có: 
              
2
2 2 2
1 1 1
1 1 1 2 2 2
 
  
   
     
       
a b b c c a
a b b c b c c a c a a ba b b c c a
     
 
  2 2 2
21 1 1 c a a b b c
a b b ca b b c c a
    
   
   
     
2 2 2
1 1 1
.
a b b c c a
  
  
Câu 2. 
a. ĐKXĐ: 1;x  
3
.
2
x  
Xét 0x  không là nghiệm. 
Xét 0x  , phương trình đã cho tương đương với 
2 13
6
3 3
2 5 2 1x x
x x
 
   
. 
Đặt 
3
2 5x t
x
   ta được 
2 13
6
6t t
 

 22 7 4 0t t      2 1 4 0t t    
1
2
4
t
t



 
Với 
1
2
t 
3 1
2 5
2
x
x
    
3
4
2
x
x




. 
Với 4t   
3
2 5 4x
x
     22 3 0x x    vô nghiệm. 
Vậy phương trình có tập nghiệm là 
3
;2
4
S
 
  
 
. 
b. Vì  1 2017P  2017 1 a b    2016.a b   
Do đó        3 1 9 3 1P P a b a b         10 2 a b   4042 . 
Câu 3. 
Đặt 4 3 1.A n n   
Với 1n  thì 3A  không thỏa mãn. 
Với 2n  ta có 4 34 4 4 4.A n n   
Xét  
2
2 24 2 1 3 2 3 0A n n n n        
2
24 2 1 .A n n    
Xét  
2
2 24 2 4 0A n n n      
2
24 2 .A n n   
Vậy  
2
24 2 2.A n n n    
Với 2n  thì 25A  thỏa mãn bài toán. 
Câu 4. 
Áp dụng bất đăngt thức Cauchy ta có 
2 2 2 2 2 2
2
b c c a a b bc ca ab
a b c a b c
    
     
 
 2 .
bc ca ca ab ab bc
a b c
a b b c c a
     
             
     
Dấu bằng xảy ra khi .a b c  
Câu 5. 
 a. Đường thẳng qua B song song với AC cắt tia PD tại .E 
Ta có BE PC BN  suy ra BEN vuông cân tại .B 
Do 090NBE NHE  nên ,B H cùng thuộc đường tròn đường khính .NE 
Suy ra 045NHB NEB  (1) 
Tương tự hai điểm ,A H cùng thuộc đường tròn đường kính PN suy ra 
045AHN APN  (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 090AHB  hay .AH BH 
b. Từ giả thiết suy ra 090AIB  nên I là điểm chính giữa của cung AIB 
của đường tròn đường kính .AB 
Mặt khác, theo kết quả câu a thì tia HN là tia phân giác của AHB và 
AHB là góc nội tiếp chắn cung AIB của đường tròn đường kính AB nên 
HN phải đi qua .I Do đó ba điểm , ,H N I thẳng hàng. 
I
E
H
N
P
D
A B
C
M