Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Hải Dương môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẢI DƯƠNG 
NĂM HỌC 2017-2018 
Câu 1. a) Cho 
2 2
A=
1
x x x x
x x x x
 

   
. Rút gọn 1 2 4 1B A x    với 
1
0
4
x  
 b) Cho , , 0x y z  và đôi một khác nhau thỏa mãn 
1 1 1
0
x y z
   . Chứng 
minh  2016 2017 20182 2 2
1 1 1
x
2 2zx 2x
x y z xy yz z
x yz y z y
 
       
   
. 
Câu 2. a)Giải phương trình   25 2 1 3x 10 7x x x       . 
 b)Giải hệ phương trình 
2 2
3
2x y xy
x x y
   

 
. 
Câu 3. a)Tìm các số thực x sao cho 2018x và 
7
2018
x
 đều là số nguyên. 
 b) Tìm các số tự nhiên có dạng ab . Biết rằng 
2 2
ab ba là số chia hết cho 
3267 . 
Câu 4. Cho hình bình hành ABCD có góc 0D 90B C  , đường phân giác góc 
DBA cắt cạnh BC và đường thẳng DC lần lượt tại E và F . Gọi , 'O O 
lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD và CEF . 
 1)Chứng minh rằng 'O thuộc đường tròn ( )O . 
 2) Khi DE vuông góc BC 
 a) Tiếp tuyến của ( )O tại D cắt đường thẳng BC tại G . Chứng minh 
rằng . .BG CE BE CG 
b)Đường tròn ( )O và ( ')O cắt nhau tại điểm H ( H khác C ). Kẻ tiếp 
tuyến chung IK ( I thuộc ( )O , K thuộc ( ')O và , ,H I K nằm cùng phía 
bờ OO' ). Dựng hình bình hành CIMK . Chứng minh 'OB O C HM  . 
Câu 5. Cho , , 0x y z  thỏa mãn 2 2 2 3xx y z yz   . Tìm GTLN của 
2 2 2
4 4 4x
x y z
P
x yz y z z xy
  
  
LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẢI DƯƠNG 
NĂM HỌC 2017-2018 
Câu 1. a) Cho 
2 2
A=
1
x x x x
x x x x
 

   
. Rút gọn 1 2 4 1B A x    với 
1
0
4
x  
 b)Cho , , 0x y z  và đôi một khác nhau thỏa mãn 
1 1 1
0
x y z
   . 
 Chứng minh  2016 2017 20182 2 2
1 1 1
x
2 2zx 2x
x y z xy yz z
x yz y z y
 
       
   
 ời giải 
a) Ta có 
2 2 ( 1) ( 1)
A= =
1 1 1 1
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
   
 
       
( 1) ( 1)x x x x    2x 
1
1 2 4 1 1 4 4 1 1 2 1 2 (0 )
4
B A x x x x x x              
 b)Ta có 
1 1 1
0 0yz xz xy
x y z
       
 2 2 22 z ( ) ( ) ( )( )x yz x yz yz x yz x xy x x z y x z x z z y                
 Tương tự 2 22zx ( )( ); 2xy=(z-x)(z-y)y y z y x z      
2 2 2
1 1 1
2 2 2x yz y xz z yx
  
  
1 1 1
( )( ) ( )( ) ( )( )x y x z y z y x z y z x
  
     
0
( )( )( )
y z z x x y
x y y z z x
     
 
  
2016 2017 2018
2 2 2
1 1 1
( ) 0
2 2 2
x y z
x yz y xz z yx
 
      
   
. 
Câu 2. a)Giải phương trình   25 2 1 3x 10 7x x x       . 
 b)Giải hệ phương trình 
2 2
3
2x y xy
x x y
   

 
 ời giải 
 a)Điều kiện 2x  
   25 2 1 3x 10 7x x x       
21 3 10 5 2x x x x        
( 5( 2 1) 2 1x x x       
2 1
5 1
x
x
  
 
 
3
4
x
x

   
So với điều kiện ta được phương trình có 1 nghiệm 3x  . 
b) 
2 2
3
2x y xy
x x y
   

 
Từ phương trình 3 3 2 2 3 32x 2( ) ( )( )x x y x y x y xy x y x y           
3 3x y x y    
Với x y thế vào phương trình 2 2 2x y xy   ta được 
2
2
2
2
y
y
y
 
  
 
Vậy hệ có nghiệm ( ; ) {( 2; 2);( 2; 2)}x y    . 
Câu 3. a)Tìm các số thực x sao cho 2018x và 
7
2018
x
 đều là số nguyên. 
 b) Tìm các số tự nhiên có dạng ab . Biết rằng 
2 2
ab ba là số chia hết cho 3267 . 
 ời giải 
 a) Điều kiện 0x  . 
Đặt 2018 2018a x x a     
Xét 
7 7 7 2018 2018
2018 2018
2018 2018
a
b
x a a
 
    
 
( 2018) 2025 2018b a a    
2015 ( ) 2018ab b a    
Với ,a b Z 
2025 ( ) 2018 0ab Z a b      
a b  
2025 45a b      
+ 45 45 2018a x    
+ 45 45 2018a x      
b)
2 2 2 2 2 2(10a ) (10 ) 99( )ab ba b b a a b       
2 2
ab ba chia hết cho 3267 nên 2 2 ( )( )a b a b a b    chia hết cho 33 
1 , 9a b a b    ,hay 7, 4a b  ; 4, 7a b  
Vậy ta có các số 11;22;33;44;47;55;66;74;77;88;99 . 
Câu 4. Cho hình bình hành ABCD có góc 0D 90B C  , đường phân giác góc DBA cắt 
cạnh BC và đường thẳng DC lần lượt tại E và F . Gọi , 'O O lần lượt là tâm 
đường tròn ngoại tiếp BCD và CEF . 
 1)Chứng minh rằng 'O thuộc đường tròn ( )O . 
 2) Khi DE vuông góc BC 
 a) Tiếp tuyến của ( )O tại D cắt đường thẳng BC tại G . Chứng minh rằng 
. .BG CE BE CG 
 b)Đường tròn ( )O và ( ')O cắt nhau tại điểm H ( H khác C ). Kẻ tiếp tuyến chung 
IK ( I thuộc ( )O , K thuộc ( ')O và , ,H I K nằm cùng phía bờ OO' ). Dựng hình 
bình hành CIMK . Chứng minh 'OB O C HM  
 ời giải 
a) 
 E EBA DA (giả thuyết);
E
E E
BA EFC
DA F C
 


 EFC FEC  
 suy ra EFC cân tại C CE CF  
 mà A A AEBE FEC BE B   nên ABE cân tại B 
BA BE  mà DBA C nên DBE C 
D
CE CF
BE CE DC CF
BE C

   

 BC DF  (1) . 
Mặt khác 'O CF cân ' 'O CF O FC  
Với ' ' ' 'CE CF O CE O CF O CE O FC     (2) 
Mà ' 'O C O F (3) . 
Từ (1) , (2) và (3) ta được ' ' ' 'BO C DO F O BC O DF     
Nên tứ giác D 'B CO nội tiếp hay điêm 'O thuộc đường tròn ( ')O 
 b)Tam giác DBC tại D ,nội tiếp đường tròn ( )O . 
 Ta có 
2
2 2 2
2
.
. . . .
.
DG CG BG
DG DE CG BG BE CE GE CG BG BE CE
DE BE CE
 
      

2( ) . .CE CG CG BG BE CE    
2 22 . . .CE CE CG CG CG BG BE CE     
2 2. . . .CE CE CG BE CE CG BG CG CE CG      
( ) ( )CE CE CG BE CG BG CG CE      . .CE BG CG BE  
c)Tia CH cắt IK tại N . Áp dụng phương tích đường tròn ta có 
2 2.NK NH NC NI  NK NI  mà CIMK là hình bình hành, do đó 
, , ,M N H C thẳng hàng. 
Suy ra 2 ' ' 2OB O C OI O K NJ    . Gọi T là điểm đối xứng với H qua N , P là 
giao điểm của CH với 'OO . 
Ta có 
'
PH PC
NJ NP
OO CH

 

2 2NJ NP NP NP NP PH NP       NT PC NP   TC = HM 
 Vậy 'OB O C HM  . 
Câu 5. Cho , , 0x y z  thỏa mãn 2 2 2 3xx y z yz   . Tìm GTLN của 
2 2 2
4 4 4x
x y z
P
x yz y z z xy
  
  
 ời giải 
Ta có , , 0x y z  ,
2 2 2
2 2 2 3x 3
x y z
x y z yz
xyz
 
     . 
Với , , 0x y z  , theo BĐT Cauchy ta được 2 2 2 xx y z xy yz z     
2
4 4 2
4
1
2 2
2
x
x yz x yz x yz
x yz yz
    

Tương tự ta được: 
2 2
4 4
1 1
;
x 2 x 2
y z
y z z xyz xy
 
 
2 2 2
4 4 4
1 1 1 1 1 1 1 1
x 2 2z
x y z
P
x yz y z z xy x y zyz x xy
   
                 
2 2 21 1 3
2 2 2
xy yz zx x y z
xyz xyz
     
    
   
GTLN của 
3
2
P  khi 1x y z   
 HẾT 