Đề thi chọn học sinh giỏi Tỉnh môn Toán Lớp 9 - Đề 11 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT TPHD
T11
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
MÔN: TOÁN 
Năm học 2014 - 2015
Thời gian làm bài:150 phút
( Đề gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1. (2,0 điểm)
a) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn 6x + 5y + 18 = 2xy 
	b) Cho x,y là 2 số tự nhiên thỏa mãn 
Chứng minh rằng 3x+4y5
Câu 2. (2,0 điểm)
a) So sánh cặp số sau
 và 
	b) Tính giá trị của biểu thức M = x3 – 6x với x =
Câu 3. (2,0 điểm)
 a) Tìm a để phương trình có nghiệm duy nhất 
 b) Giải hệ phương trình: (Với x,y,z >0)
 Câu 4. (3,0 điểm)
	1. Cho hai đường tròn tâm (O;R) và tâm (O';r) tiếp xúc ngoài tại điểm A. Qua A, vẽ hai tia vuông góc, cắt các đường tròn tâm (O) và (O') lần lượt tại B và C. Tính diện tích lớn nhất của tam giác ABC.
	2. Cho đường tròn tâm (O;R) và một điểm M ở ngoài đường tròn. Từ một điểm N di động trên đường thẳng d vuông góc với OM tại M, vẽ các tiếp tuyến NB, NC với đường tròn ( B, C là các tiếp điểm ). Dây BC cắt ON và OM lần lượt tại H và K.
Chứng minh BC luôn đi qua một điểm cố định.
Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định.
Cho biết OM = 2R, hãy xác định vị trí của N để diện tích tứ giác NBOC nhỏ nhất. Tính giá trị đó.
Câu 5. (1,0 điểm) 
	Cho 
Chứng minh A < 2
.............. Hết .............. 
PHÒNG GD&ĐT GIA LỘC
TRƯỜNG THCS THỐNG NHẤT
MÃ ĐỀ
T-02-HSG9-TN-PGDGL
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
MÔN: TOÁN 9
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
Câu
Đáp án
Điểm
1
(2điểm)
a. (1,0 điểm)
Ta có: 
 2x(y – 3) – 5(y – 3) = 33
 (y – 3)(2x – 5) = 33 = 1.33 = 3.11 
0,25đ
Ta xét các trường hợp sau : * 
 * 
0,25đ
 * 
 * 
0,25đ
Các cặp số nguyên dương đều thỏa mãn đẳng thức trên. 
Vậy các cặp số cần tìm là : (3; 36); (4; 14); (8; 6); (19; 4)
0,25đ
b. (1,0 điểm)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia côpxki ta có 
0,25đ
hay 
0,25đ
Ta lại có :
0,25đ
Đẳng thức xảy ra khi 
0,25đ
2
(2điểm)
a. (1,0 điểm)
 Nhận xét nếu a > 0, b > 0 thì a + b 
 (dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b) 
0,25đ
Do đó 
0,25đ
Áp dụng vào bài ta được
0,25đ
Vậy = 
0,25đ
b. (1,0 điểm)
 Đặt u = ; v = 
0,25đ
u.v = 
0,25đ
x = u + v = 40 + 6x
0,25đ
hay . Vậy M = 40
0,25đ
3
(2điểm)
a. (1,0 điểm)
a) Từ phương trình (1), ta có
+ Nếu thì phương trình (1) 
 (2)
Với , ta có phương trình (2) vô nghiệm
Với , nghiệm của phương trình (2) là: và sẽ là nghiệm của phương trình (1) nếu 
0,25đ
+ Nếu thì phương trình (1) 
Với , ta có phương trình (2) vô nghiệm 
Với , nghiệm của phương trình (2) là: và sẽ là nghiệm của phương trình (1) nếu 
0,25đ
Như vậy, phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hoặc 
0,25đ
 hoặc hoặc 
0,25đ
b. (1,0 điểm)
 Áp dụng bất đẳng thức với a,b>0
0,25đ
Mà x,y,z >0 nên 
0,25đ
0,25đ
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z thay vào (1) ta được
 vì 
Vậy hệ có nghiệm x = y = z = 2
0,25đ
4
(3 điểm)
1. (1,0 điểm)
0,25đ
Vẽ OH AB. OK AC
Do và O,A,O' thẳng hàng nên 
0,25đ
Áp dụng bất đẳng thức 
 ta được 
0,25đ
Vậy (dấu = xảy ra khi )
Vậy Max 
0,25đ
2. (2,0 điểm)
0,25đ
a) ta có ON BC
 (1)
0,25đ
Xét nên (2)
Từ (1) ,(2) (không đổi)
(không đổi)
0,25đ
 Do đó K cố định trên OM.
Do nên H nằm trên đường tròn đường kính OK cố định
0,25đ
b) Tứ giác NBOC có hai đường chéo vuông góc nên có diện tích:
 S nhỏ nhất ON nhỏ nhất và BC nhỏ nhất.
0,25đ
ON nhỏ nhất N trùng với M
 BC nhỏ nhất H trùng với KN trùng với M
0,25đ
Nếu OM=2R thì 
0,25đ
Vậy 
0,25đ
5
(1 điểm)
Ta có 
0,25đ
0,25đ
Hay 
Do đó 
0,25đ
 Vậy A<2
0,25đ
Lưu ý khi chấm bài:
Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.
Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm điểm.