Đề thi chọn học sinh giỏi Tỉnh môn Toán Lớp 9 - Đề 12 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT TPHD
T12
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
MÔN: TOÁN 
Năm học 2014 - 2015
Thời gian làm bài:150 phút
( Đề gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm)
1. Cho biểu thức với x > y > 0 
a. Rút gọn P.
b. Biết x – y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
2. Cho . Tính giá trị của biểu thức:
 Q = 
Câu 2 (2,0 điểm)
a. Giải phương trình: 
b. Giải hệ phương trình: 
Câu 3 (2,0 điểm)
a. Tìm các cặp số (x; y) thỏa mãn x, y và 
b. Cho và là các số hữu tỉ và thoả mãn đẳng thức . 
 Chứng minh rằng là một số hữu tỉ. 
Câu 4 (3,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BE, CF vuông góc với nhau. 
 Chứng minh rằng (góc B và góc C là hai góc của tam giác ABC)
2. Cho tam giác ABC có BC = a; CA = b; AB = c (c < a; c < b). Gọi M, N lần lượt là các tiếp điểm của cạnh AC và cạnh BC với đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC. Đoạn thẳng MN cắt tia AO tại P và cắt tia BO tại Q. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và AC. 
a. Chứng minh rằng.
b. Trên đoạn thẳng NC lấy điểm I sao cho MF = NI. Chứng minh IQ đi qua trung điểm của NF.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho tứ giác ABCD có AB = a ; BC = b ; CD = c ; DA = d thỏa mãn: 
 . 
 Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành.
----------------- Hết ----------------
PHÒNG GD&ĐT GIA LỘC
TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN GIA LỘC
MÃ ĐỀ
T-01-HSG9-TTGL-PGDGL
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
MÔN: TOÁN 9
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
Câu
Nội dung
Biểu điểm
1
(2,0 điểm)
a. (1,0 điểm)
 Xét với x > y > 0 
0,25
0,25
0,25
Vậy với x > y >0
0,25
b (0,5 điểm)
Ta có với x > y >0 và x – y = 1
Suy ra 
Vì y > 0 nên theo bất đẳng thức Côsi ta có:
0,25
Dấu bằng xảy ra khi 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = khi x = 
0,25
2.(0,5 điểm)
Ta có: Q = 
 = 
 = 
0,25
Từ 
. 
0,5
Thay vào Q, ta có: Q = = 10 
0,25
2
(2,0
điểm)
a. (1,0 điểm)
Xét phương trình: 
0,25
Xét (1) (ĐK: )
0,25
Xét (2) (ĐK: )
0,25
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
0,25
b. (1,0 điểm)
Xét hệ phương trình: (ĐK:)
Đặt xy = a; x + y = b (ĐK: )
Ta có hệ 
0,25
Xét (2) ta có: 
* Nếu a = 2 thay vào (1) ta có: 4b + 2b = 18 
Suy ra: 
+ Với 
+ Với 
0,25
* Nếu a = 0,5 thay vào (1) ta có: b + 2b = 4,5 
Suy ra: 
0,25
+ Với 
+ Với 
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là
0,25
3
(2,0
điểm)
a. (1,0 điểm)
Ta có: 
0,25
0,25
TH1: 
TH2: 
TH3: 
0,25
TH4: 
Vậy (x;y)
0,25
b. (1,0 điểm)
* Nếu x = 0 hoặc y = 0 thì là số hữu tỉ 
0,25
* Nếu x, y đều khác 0 
0,25
 là số hữu tỉ
0,25
Vậy với ; là các số hữu tỉ và thoả mãn đẳng thức thì là một số hữu tỉ
0,25
4
(3,0
điểm)
1. (1,0 điểm)
0,25
Gọi G là giao của ba đường trung tuyến BE, CF, AM
0,25
Kẻ AH vuông góc với BC tại H
Kẻ GK vuông góc với BC tại K
Xét tam giác AHB vuông tại H
Có 
Xét tam giác AHC vuông tại H
Có 
Suy ra (1)
0,25
Xét tam giác AHM vuông tại H
Suy ra: AH AM (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
0,25
2a. (1,0 điểm)
0,25
Ta có: 
= + =
Suy ra 
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
 Tứ giác BOPN nội tiếp
( cùng bù với )(1)
0,25
Vì Tứ giác OMCN nội tiếp
 ( cùng chắn cung ON)(2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác OPM đồng dạng với tam giác OBC(g.g) 
0,25
Chứng minh tương tự ta có tam giác ONQ đồng dạng với tam giác OCA(g.g) (3)
Chứng minh tương tự ta có tam giác AOB đồng dạng với tam giác QOP(g.g) (4)
Từ (3) và (4) suy ra 
0,25
2b (1,0 điểm)
- Chứng minh tứ giác AMQO nội tiếp 
Tam giác ABQ vuông tại Q 
- Chứng minh EF là đường trung bình của tam giác ABC
0,25
Suy ra ba điểm E, F, Q cung nằm trên một đường thẳng
Vì AC, BC là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại C 
0,25
Mà MF = NI (gt)
Suy ra 
0,25
Từ (5) và (6) suy ra tứ giác QFIN là hình bình hành
Vậy IQ đi qua trung điểm của NF
0,25
5
(1,0
điểm)
- Chứng minh với x,y dương ta có được 
Áp dụng ta có:
0,25
Tương tự
Cộng (1) và (2) ta được
- Chứng minh 
0,25
 (luôn đúng)
Suy ra 
Mà 
0,25
Dấu “=” xảy ra khi a = c và b = d
Xét tứ giác ABCD có AB = CD và BC = DA. Chứng tỏ tứ giác ABCD là hình bình hành
0,25
Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
------------ Hết -------------