Đề thi chọn học sinh giỏi Tỉnh môn Toán Lớp 9 - Đề 13 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT TPHD
T13
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
MÔN: TOÁN 
Năm học 2014 - 2015
Thời gian làm bài:150 phút
( Đề gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1 (2 điểm): 	
 a, Phân tích đa thức thành nhân tử: x4+2x2y -3x2 +y2 +2x - 2y.
 b, Cho a, b, c khác 0 và khác nhau đôi một . Biết ++ = 0 
 Hãy tính giá trị của biểu thức P = 
Câu 2 ( 2 điểm) 
 Giải phương trình, hệ phương trình 
 a, + 1 = x+ 3x+ 2x
 b, 
Câu 3 ( 2 điểm): 
 a, Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn điều kiện:
 2xy2 + x + y + 1 = x2 + 2y2 + xy
 b, Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 thì số A= n6-n4+2n3+2n2 
 không thể là số chính phương. 
Câu 4 ( 3,0 điểm): 
 1, Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), AD, BE, CF là ba đường cao , đường thẳng EF cắt BC tại G, đường thẳng AG cắt đường tròn (O) tại M. 
 a, Chứng minh bốn điểm A, M, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
 b, Gọi N là trung điểm của BC, H là trực tâm của ABC.
 Chứng minh GH AN
 2, Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.
 Chứng minh rằng: sin.
Câu 5 ( 1,0 điểm): 
	 Cho x, y,z dương thoả mãn xy+yz+zx=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
-----------------Hết-----------------
PHÒNG GD&ĐT GIA LỘC
TRƯỜNG THCS LÊ THANH NGHỊ
MÃ ĐỀ
T-03-HSG9-LTN-PGDGL
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
MÔN: TOÁN 9
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
Câu
Đáp án
Điểm
1
(2,0đ)
a) (1 điểm)
 x4+2x2y -3x2 +y2 +2x - 2y
= (x4+2x2y + y2)- x2 - 2x2 +2x - 2y
0,25đ
= (x2+y)2 - x2 -2(x2+y -x)
0,25đ
=( x2+y -x)(x2 +y+x)-2(x2 +y - x)
0,25đ
=( x2+y -x)(x2 +y+x-2)
0,25đ
b) (1 điểm) 
Từ giả thiết ++ = 0 ab + bc + ca = 0
0,25đ
Ta có a + 2bc = a+ bc + (- ac - ac) = (a- c) (a- b)
Tương tự b+ 2ac = (b- a) (b- c) 
 c+ 2ab = (c- a) (c- b) 
0,25đ
P = 
0,25đ
= = 1
0,25đ
2
(2,0đ)
a) (1 điểm)
+1=x+ 3x+ 2x
= (x + 1)- x - 2
0,25đ
Đặt y + 1 = (y +1) = 2x + 3 (1)
Phương trình đã cho trở thành
y + 1 = (x + 1)-(x +2) (x +1)= (x + y) + 3 (2)
0,25đ
Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có : (x +1)- (y +1) = y - x
(x - y) = 0
Vì (x + 1)+ (x + 1)(y + 1) + (y + 1)+ 1 > 0
nên suy ra x - y = 0 x = y 
0,25đ
Thay x = y vào (1) ta có : 
(x + 1)= 2x + 3 (x + 2)(x+x -1) = 0 x = -2 hoặc x = 
0,25đ
b) (1 điểm) 
Từ hệ ta có 
0,25
xy (5y2-6x2+xy) = 0 
xy (5y2-5x2- x2 +xy ) = 0
xy (y-x)(5y+6x) = 0 
0,25đ
* Với x = 0 ta tìm được (x ; y) = (0;) 
* Với y = 0 ta tìm được (x ; y) = (; 0) 
0,25đ
* Với x = y ta tìm được (x ; y) = (;) 
* Với y = ta tìm được (x ; y) = (; )
Vậy hệ phương trình có nghiệm 
(x ; y) = (0;) ; (; 0) ; (;) ; (; )
0,25 đ
3
(2,0đ)
a) (1 điểm) 
 2xy2 + x + y + 1 = x2 + 2y2 + xy
0,25đ
Vì x; y là số nguyên nên x-1 và 2y2-y-x là số nguyên và là ước của -1.
Ta có các trường hợp sau:
* Trường hợp 1: 
0,25đ
* Trường hợp 2: 
0,25đ
Vậy cặp số nguyên (x ; y) tìm được là: (2; 1); (0 ; 1) 	
0,25đ
b) (1 điểm)
Giả sử n- n+ 2n+ 2n= k (k Z)
 n(n- 1) + 2n(n+1) = k
0,25đ
 (n + 1) n(n- n+ 2) = k
 (n+1)n2(n3+n2-2n2-2n+2n+2)=k2
0,25đ
(n + 1)2 n= k
Suy ra là số chính phương
0,25đ
Điều này vô lí vì (n-1)2 < < n2
Vậy n- n+ 2n+ 2n không thể là số chính phương
0,25đ
4
(3,0đ)
1, ( 2,0 điểm) 
a,* Bài toán: Cho tứ giác ABCD, P là giao điểm của AB và CD.
Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi PA.PB=PC.PD.
0,25đ
* Áp dụng bài toán trên cho tứ giác AMBC nội tiếp ta được
GM.GA=GB.GC.
0,25đ
Tứ giác BFEC nội tiếp ta được GB.GC=GE.GF
0,25đ
Suy ra GF.GE=GM.GA
Suy ra tứ giác AM FE nội tiếp
0,25đ
b, Tứ giác AM FE nội tiếpvà tứ giác AEHF nội tiếpnên suy ra M nằm trên đường tròn đường kính AH. Do đó HM MA.
0,25đ
Tia MH cắt đường tròn tại K mà AMK = 900 nên AK là đường kính của đường tròn (O).
Từ đó suy ra KC CA, KB BA
0,25đ
Do đó KC // BH, KB// CH nên BHCK là hình bình hành 
Suy ra KH đi qua N. Khi đó M, H, N thẳng hàng.
0,25đ
Trong tam giác GAN có hai đường cao AD, NM cắt nhau tại H nên H là trực tâm của tam giác GAN.
Do đó GH AN.
0,25đ
2) (1,0 điểm) 
Kẻ Ax là tia phân giác của góc BAC, kẻ BM Ax và CN Ax
Từ hai tam giác vuông AMB và ANC, ta có
sin MAB = sin = 
 BM = c.sin
sinNAC = sin = 
 CN = b. sin
Do đó BM + CN = sin( b + c)
0,5đ
Mặt khác ta luôn có BM + CN BD + CD = BC = a
Vì thế sin( b + c ) a 
0,25đ
Do b + c nên hay sin 
0,25đ
5
(1,0đ)
0,25đ
Tương tự :
0,25đ
Ta chứng minh:
( Luôn đúng)
Từ đó suy ra :
0,25đ
Dấu bằng xẩy ra khi 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P=2015 khi 
0,25đ
Lưu ý khi chấm bài:
Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.
Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm điểm.
-----------------Hết-----------------