Đề thi chọn học sinh giỏi Tỉnh môn Toán Lớp 9 - Đề 14 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT TPHD
T14
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
MÔN: TOÁN 
Năm học 2014 - 2015
Thời gian làm bài:150 phút
( Đề này gồm: 05 câu, 01 trang)
Câu 1 (2 điểm).
a) Rút gọn biểu thức với x > 0.
b) Cho . 
 Tính giá trị của B biết rằng 
Câu 2 (2 điểm).
Cho x, y lµ c¸c sè d­¬ng thay ®æi vµ tho¶ m·n . 
Giải phương trình: 
	b) Giải hệ phương trình: 
Câu 3 (2 điểm).
	a) Tìm các cặp số nguyên dương x, y nguyên tố cùng nhau sao cho:
	b) Cho hình bình hành ABCD, kẻ 17 đường thẳng sao cho mỗi đường thẳng chia ABCD thành hai hình thang có tỉ số diện tích bằng . Chứng minh rằng, trong 17 đường thẳng đó có 5 đường thẳng đồng quy.
Câu 4 (3 điểm).
	 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) (BC cố định, A di chuyển trên cung lớn BC) các đường cao AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại H. B’C’ cắt đường tròn (O) tại M, N.Gọi I là trung điểm của BC.
	a) Chứng minh rằng AH = 2 OI
	b) Chứng minh rằng: AM2 = AN2 = 2OI.AA’.
	c) Tìm vị trí điểm A để biểu thức A’H2 + 2OI.A’H nhận giá trị lớn nhất.
Câu 5 (1 điểm).
Cho x, y, x là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = xyz. 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P = .
-------------------- Hết --------------------
PHÒNG GD&ĐT GIA LỘC
TRƯỜNG THCS QUANG MINH
MÃ ĐỀ
T-04-HSG9-QM-PGDGL
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
MÔN: TOÁN 9
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(2,0 đ)
a. (1 điểm)
Ta có: 
0.25
Do x > 0 nên và 
0.25
Vì thế: 
0.25
0.25
b. (1 điểm)
Do 
0.25
Có 
0.25
0.25
0.25
Câu 2
(2,0 đ)
a. (1 điểm)
Ta có: . Đẳng thức xảy ra khi 
0.25
0.25
®¹t ®­îc khi 
0.25
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 
0.25
b. (1 điểm)
Xét Điều kiện: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm ta có :
0.25
Như vậy . Dấu “=” xảy ra khi x = y
Do đó phương trình (2) có nghiệm x = y
0.25
Thay x = y vào phương trình (1) ta có:
0.25
 (do ).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = 3
0.25
Câu 3
(2,0 đ)
a. (1 điểm)
Vì (7, 25) = 1 nên đặt x + y = 7k thì x2 + y2 = 25k, với k là số nguyên dương. Ta có (x + y)2 + (x – y)2 = 2(x2 + y2)
0.25
hay là 
0.25
Do đó chỉ có thể k = 1 nên x + y = 7 và x2 + y2 = 25 
Thay vào (1) được (x – y)2 = 1
0.25
+ Với x – y = 1 và x + y = 7 thì x = 4, y = 3
+ Với x – y = –1 và x + y = 7 thì x = 3, y = 4.
Vậy tìm được 
0.25
b. (1 điểm)
A
B
C
D
P
Q
M
N
F
L1
E
K1
K2
d
L
L2
Gọi M, Q, N, P lần lượt là các trung điểm của AB, BC, CD, DA. 
Vì ABCD là hình bình hành MN // AD // BC ; PQ // AB // CD. 
Gọi d là một trong 17 đường thẳng đã cho. Nếu d cắt AB tại E; CD tại F; PQ tại L thì LP, LQ lần lượt là đường trung bình của các hình thang AEFD, EBCF. Ta có : 
 hoặc hoặc là . 
0.25
Trên PQ lấy hai điểm L1, L2 thỏa mãn điều kiện khi đó L trùng với L1 hoặc L trùng với L2. Nghĩa là nếu d cắt AB và CD thì d phải qua L1 hoặc L2. 
0.25
Tương tự, trên MN lấy hai điểm K1, K2 thỏa mãn điều kiện khi đó nếu d cắt AD và BC thì d phải qua K1 hoặc K2. 
0.25
Tóm lại, mỗi đường thẳng trong số 17 đường thẳng đã cho phải đi qua một trong 4 điểm L1 ; L2 ; K1 ; K2. 
Vì 17 > 4.4 nên theo nguyên lí Đi-rích-lê, trong 17 đường thẳng đó sẽ có ít nhất 5 đường thẳng (5 = 4 + 1) cùng đi qua một trong 4 điểm L1 ; L2 ; K1 ; K2 (5 đường thẳng đồng quy).
0.25
Câu 4
(3,0 đ)
a. (1 điểm)
I
K
H
A'
N
M
C'
B'
O
A
B
C
x
0.25
Kẻ đường kính AK
Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành 
0.25
 I là trung điểm của HK
0.25
Khi đó ta có AH = 2 OI (*)
0.25
b. (1 điểm)
Kẻ Ax là tiếp tuyến của đường tròn(O). 
Có = (vì cùng bằng góc ABC) 
 Ax//B’C’ mà OA Ax OA MN 
AM = AN (1)
0.25
Do AMC' ABM (g.g) AM2 = AC'. AB (**) 
0.25
Do AC'H AA'B
 AC'. AB = AH. AA'(***)
0.25
Từ (*), (**), (***) AM2 = 2OI.AA' (2)
Từ (1) và (2) đpcm.
0.25
c. (1 điểm)
A’H2 + 2OI.A’H = A’H.( A’H + 2OI) 
= A’H.( A’H + AH) = A’H.AA’.
0.25
Do 
0.25
A’H.AA’= A’B.A’C (Dấu “=” xảy ra khi A’ là trung điểm của BC.
0.25
Do BC không đổi vậy A’H2 + 2OI.A’H lớn nhất khi và chỉ khi A là điểm chính giữa của cung BC.
0.25
Câu 5:
(1,0 đ)
Có x, y, z > 0 nên xyz > 0
Chia cả hai vế của xy + yz + zx = xyz cho xyz >0 ta được:
. Đặt 
Þ
Þ = 
0.25
Khi đó: 
0.25
Tương tự: 
 = = 
0.25
Dấu “=” xảy ra khi 
Từ đó giá trị lớn nhất của P là đạt được khi và chỉ khi 
0.25