Đề thi chọn học sinh giỏi Tỉnh môn Toán Lớp 9 THCS - Năm học 2015-2016 - Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dương (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Ngày thi: 24/3/2016
 (Đề thi gồm có 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm) 
a) Cho . Tính giá trị của biểu thức . 
b) Cho x, y là hai số thực dương. Chứng minh rằng:
	 . 
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: .
b) Giải hệ phương trình: .
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Tìm các số nguyên thoả mãn: .
b) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho là số chính phương.
Câu 4 (3,0 điểm) 
1) Cho tam giác ABC có , , . Chứng minh rằng: .
2) Cho tam giác ABC có , , (, ). Gọi M, N lần lượt là các tiếp điểm của cạnh AC và cạnh BC với đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC. Đường thẳng MN cắt tia AO tại P và cắt tia BO tại Q. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC. 
	a) Chứng minh rằng: .
	b) Trên đoạn thẳng NC lấy điểm I sao cho MF = NI. Chứng minh IQ đi qua trung điểm của NF. 
Câu 5 (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
	 .
----------------------------Hết----------------------------
Họ và tên thí sinh:............................................................Số báo danh:.....................................
Chữ kí của giám thị 1: ........................................Chữ kí của giám thị 2: ..................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015 - 2016
 (Hướng dẫn chấm gồm: 05 trang)
Nếu học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1
a
Cho . Tính giá trị của biểu thức 
 .
1,00
Ta có: 
0,25
0,25
0,25
 A = 24
0,25
1
b
Cho x, y là hai số thực dương. Chứng minh rằng:
1,00
Ta có: 
0,25
 = (*)
0,25
Do x > 0, y > 0 nên (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy > x2 + y2
Suy ra : 
0,25
Khai căn hai vế đẳng thức (*) ta được điều phải chứng minh.
0,25
2
a
Giải phương trình: (1)
1,00
Điều kiện: 
Ta có: (1) 
0,25
0,25
Giải (2): 
0,25
Giải (3): 
KL: Phương trình (1) có nghiệm: và 
0,25
2
b
Giải hệ phương trình: .
1,00
 Ta có: (1) , thế vào phương trình (2) và thu gọn ta được:
.
0,25
*) TH1: , thế vào phương trình (1) ta được , phương trình vô nghiệm.
0,25
*) TH2: , trừ vế theo vế của phương này với phương trình (1) ta được: 
0,25
 + Nếu x =3 thay vào phương trình (1) ta được: 4y2 = 0 y = 0, cặp (x;y) = (3;0) thoả mãn phương trình (2).
 + Nếu , thay vào phương trình (1) ta được: (x - 2)2 = 0 x = 2, cặp (x;y) = thoả mãn phương trình (2).
Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y) = (3;0) và (x;y) = (2; 1).
0,25
3
a
Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: (*)
1,00
Ta có: (*).
Đặt x + y = a, xy = b thu được: 
0,25
Mặt khác: hay (2)
0,25
Từ (1) và (2) được: 
0,25
Vì a nguyên nên a = 2 hoặc a = 3.
+) Với a = 2 b = 1 ta có: .
+) Với a =3 (loại)
Vậy x = 1, y = 1 thoả mãn yêu cầu.
0,25
3
b
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho là số chính phương.
1,00
Đặt A = 
+) Nếu n = 1 thì A = 3, không là số chính phương.
+) Nếu n = 2 thì A = 25, là số chính phương. 
0,25
+) Nếu n > 2 ta có: 
0,25
0,25
Vì A là số chính phương nên 4A cũng là số chính phương. Do đó ta được:
4A = ,
vô nghiệm. Vậy n = 2 là số cần tìm duy nhất.
0,25
4
1
Cho tam giác ABC có: AB = c, AC = b, BC = a. 
Chứng minh rằng: .
1,00
Kẻ Ax là tia phân giác của góc 
 kẻ tại M, tại N.
Từ hai tam giác vuông AMB và ANC có: 
0,25
và , do đó: 
0,25
Ta luôn có: 
0,25
Do nên , do đó: (Dấu đẳng thức xảy ra khi b = c).
0,25
4
2
 a) Chứng minh rằng: .
1,00
Hình vẽ: 
Ta có (O) nội tiếp tam giác ABC nên AO và BO là phân giác
; CM = CN cân tại C.
tứ giác BOPN nội tiếp.
0,25
(cùng bù với ) hay (1)
Mặt khác: tứ giác OMCN nội tiếp
 hay (2).
Từ (1) và (2) ta được hai tam giác OBC và OPM đồng dạng.
.
0,25
Chứng minh tương tự ta được: 
+) Hai tam giác OQN và OAC đồng dạng
 (do OM = ON)
+) Hai tam giác OPQ và OBA đồng dạng 
0,25
Vậy ta được: (đpcm)
0,25
4
2
b) Trên đoạn thẳng NC lấy điểm I sao cho MF = NI. Chứng minh IQ đi qua trung điểm của NF. 
1,00
Ta có tứ giác AOQM nội tiếp vuông tại Q cân tại E (do ) 
0,25
Mặt khác: E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC 
 thẳng hàng (1)
0,25
Lại có: CM =CN, MF = NI (gt) (2)
0,25
Từ (1) và (2) ta được tứ giác FINQ là hình bình hành, do đó IQ đi qua trung điểm của NF.
0,25
5
Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
	 .
1,00
Chứng minh: Với hai số thực dương a, b ta có: (*) , dấu bằng xảy ra khi a = b. 
0,25
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 
0,25
Áp dụng (*): 
0,25
Tương tự ta được: 
Vậy giá trị lớn nhất của P là khi x = y = z
0,25