Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2017-2018 
Câu 1: Rút gọn biểu thức 
a 2018 a 2018 a 1
P .
a 1a 2 a 1 2 a
   
     
Câu 2: Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn  
2
x y x y z , x y z      
và y z. Chứng minh đẳng thức 
 
 
2
2
x x z x z
.
y zy y z
  

 
Câu 3: Tìm số tự nhiên abcd sao cho abcd abc ab a 4321.    
Câu 4: Cho hệ phương trình 
( m 1)x y 2
x 2y 2
  

 
 ( m là tham số và x, y là ẩn số) 
Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm ( x,y ) 
trong đó x, y là các số nguyên. 
Câu 5: Giải phương trình 1 x 4 x 3.    
Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A,AB 12cm,AC 16cm.  Gọi I là giao điểm 
các đường phân giác trong của tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC . 
Chứng minh rằng đường thẳng BI vuông góc với đường thẳng MI. 
Câu 7: Cho hình thoi ABCD có góc 0BAD 50 , O là giao điểm của hai đường chéo. 
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng AB. Trên tia đối 
của tia BC lấy điểm M ( điểm M không trùng với điểm B), trên tia đối của tia 
DC lấy điểm N sao cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN. 
a) Chứng minh rằng: MB.DN BH.AD 
b) Tính số đo góc MON 
Câu 8: Cho đường tròn (O) cố định và hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường 
tròn ( O ). Gọi A là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) (điểm A không 
trùng với điểm B và C), M là trung điểm của đoạn thẳng AC. Từ điểm M kẻ 
đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng AB, đường thẳng (d) cắt đường 
thẳng AB tại điểm H. Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi trên đường tròn 
(O) thì điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định. 
Câu 9: Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện 
1 1 1
2
a b c
   . Chứng 
minh rằng: 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2
.
35a 2ab 2b 5b 2bc 2c 5c 2ca 2a
  
     
Câu 10: Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều 
kiện: 
1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông. 
2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng 
1
.
3
Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng 
đồng quy. 
 LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2017-2018 
Câu 1: Rút gọn biểu thức 
a 2018 a 2018 a 1
P .
a 1a 2 a 1 2 a
   
     
 Điều kiện: 
a 0
a 1



 Khi đó: 
2
a 2018 a 2018 a 1
P
( a 1) ( a 1)( a 1) 2 a
   
  
    
2
( a 2018 )( a 1) ( a 2018 )( a 1) a 1
.
( a 1) ( a 1) 2 a
     

 
2
2.2017 a a 1
.
( a 1) ( a 1) 2 a


 
2017
a 1


Câu 2: Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn  
2
x y x y z , x y z      
và y z. Chứng minh đẳng thức 
 
 
2
2
x x z x z
.
y zy y z
  

 
Ta có: 
 
 
   
   
2 2 2
2 2 2
x x z x y z y x z
y y z x y z x y z
      

      
    
    
2
2
x 2 y z x z x z
2 x y z y z y z
    

    
  
  
x z 2 x 2 y 2 z
y z 2 x 2 y 2 z
  

  
x z
.
y z



Câu 3: Tìm số tự nhiên abcd sao cho abcd abc ab a 4321.    
Ta có:  abcd abc ab a 4321 1111a 111b 11c d 4321 1        
Vì a,b,c,d và 1 a 9,0 b,c,d 9    nên 3214 1111a 4321  
a 3  . Thay vào (1) ta được:  111b 11c d 988 2  
Lập luận tương tự ta có: 880 111b 988  b 8.  Thay vào (2) ta được: 11c d 100  
Mà 91 11c 100 c 9    và d 1 . 
Câu 4: Cho hệ phương trình 
( m 1)x y 2
x 2y 2
  

 
 ( m là tham số và x, y là ẩn số) 
Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm ( x,y ) trong đó x, y là các 
số nguyên. 
Từ phương trình thứ hai ta có: x 2 2y  thế vào phương trình thứ nhất được: 
( m 1)( 2 2y ) y 2    
( 2m 3)y 2m 4    (3) 
Hệ có nghiệm x,y là các số nguyên ( 3 ) có nghiệm y là số nguyên. 
Với m 2m 3 0 ( 3 )     có nghiệm 
2m 4
y
2m 3



1
1
2m 3
 
 
2m 3 1
y
2m 3 1
 
     
m 2
m 1

  
 . Vậy có 2 giá trị m thoả mãn là 1; 2. 
Câu 5: Giải phương trình 1 x 4 x 3.    
Điều kiện xác định  
1 x 0
4 x 1 *
4 x 0
 
   
  
Với điều kiện (*), phương trình đã cho tương đương với: 
5 2 1 x. 4 x 9      1 x 4 x 2      1 x 4 x 4    2x 3x 0   
 x x 3 0  
x 0
x 3

   
 . Đối chiếu với điều kiện (*) ta được x 0; x 3.   
Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A,AB 12cm,AC 16cm.  Gọi I là giao điểm các đường phân 
giác trong của tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC . Chứng minh rằng đường thẳng BI 
vuông góc với đường thẳng MI. 
Ta có 
2 2BC AB AC 20cm   . Gọi E là giao điểm của BI với AC. 
Theo tính chất đường phân giác ta có: 
AE EC AE EC 1
AB BC AB BC 2

  

BC
EC 10cm
2
  
Ta có ICE ICM( c g c )     do: EC MC 10  ; ICE ICM ; IC chung. 
Suy ra: IEC IMC IEA IMB   
Mặt khác IBM IBA  hai tam giác IBM ,ABE đồng dạng 
0BIM BAE 90 BI MI     
Câu 7: Cho hình thoi ABCD có góc 0BAD 50 , O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi H là chân 
đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M (điểm M 
không trùng với điểm B), trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho đường thẳng HM song song 
với đường thẳng AN. 
a) Chứng minh rằng: MB.DN BH.AD 
b) Tính số đo góc MON 
a) Ta có MBH ADN,MHB AND 
MBH ∽ ADN
MB BH
AD DN
  MB.DN BH.AD (1)  
b) Ta có: OHB ∽  
BH OB
AOD DO.OB BH.AD 2
DO AD
    
Từ (1) và (2) ta có: 
MB OB
MB.DN DO.OB
DO DN
  
Ta lại có: 0 0MBO 180 CBD 180 CDB ODN     
nên MBO ∽ ODN OMB NOD.   
Từ đó suy ra:    0 0MON 180 MOB NOD 180 MOB OMB      
0 0180 OBC 115   
Câu 8: Cho đường tròn (O) cố định và hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường tròn ( O ). Gọi A là 
một điểm thay đổi trên đường tròn (O) (điểm A không trùng với điểm B và C), M là trung điểm 
của đoạn thẳng AC. Từ điểm M kẻ đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng AB, đường thẳng 
(d) cắt đường thẳng AB tại điểm H. Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi trên đường tròn (O) thì 
điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định. 
Gọi D là trung điểm của đoạn BC, vì tam giác BOC, AOC là các tam giác cân tại O nên 
OD BC,OM AC  . 
Ta có: 
0ODC OMC 90  Bốn điểm O, D, C, M cùng nằm trên đường tròn ( I ) có tâm I 
cố định, đường kính OC cố định. 
Gọi E là điểm đối xứng với D qua tâm I, khi đó E cố định và DE là đường kính của đường tròn 
( I ) . 
Nếu H E,H B :  
- Với 
0M E BHE 90   
- Với M E , do 
0DM BH DMH 90  . Khi đó 0DME DMH 90 H ,M ,E   
thẳng hàng. Suy ra 
0BHE 90 
Vậy ta luôn có: 
0BHE 90 hoặc H E hoặc H B do đó H thuộc đường tròn đường kính 
BE cố định. 
Câu 9: Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện 
1 1 1
2
a b c
   . Chứng minh rằng: 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2
.
35a 2ab 2b 5b 2bc 2c 5c 2ca 2a
  
     
 Với x,y,z 0  ta có : 3x y z 3 xyz   , 3
1 1 1 1
3
x y z xyz
  
 
1 1 1
x y z 9
x y z
 
      
 
1 1 1 1 1
x y z 9 x y z
 
    
   
 Đẳng thức xảy ra khi
x y z  
Ta có: 
2 2 2 2 25a 2ab 2b ( 2a b ) ( a b ) ( 2a b )        
2 2
1 1 1 1 1 1
2a b 9 a a b5a 2ab 2b
 
     
   
 . Đẳng thức xảy ra khi a b 
Tương tự: 
2 2
1 1 1 1 1 1
2b c 9 b b c5b 2bc 2c
 
    
   
 Đẳng thức xảy ra khib c
2 2
1 1 1 1 1 1
2c a 9 c c a5c 2ca 2a
 
    
   
Đẳng thức xảy ra khi c a 
 Do đó: 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 3 3 3
9 a b c5a 2ab 2b 5b 2bc 2c 5c 2ca 2a
 
     
       
1 1 1 1 2
3 a b c 3
 
    
 
Đẳng thức xảy rakhi 
3
a b c
2
   . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 
Câu 10: Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 
1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông. 
2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng 
1
.
3
Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy. 
Giả sử hình vuông ABCD có cạnh là a ( a>0). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của 
AB, BC, CD, DA. Gọi d là một đường thẳng bất kỳ trong 2018 đường thẳng đã cho thỏa 
mãn yêu cầu bài toán. Không mất tính tổng quát, giả sử d cắt các đoạn thẳng AD, MP, BC 
lần lượt tại S, E, K sao cho CDSK ABKSS 3S 
Từ CDSK ABKSS 3S ta suy ra được:  DS CK 3 AS BK   
 
1
a AS a BK 3 AS BK AS BK a
2
        
1
EM a
4
  suy ra E cố định và d đi qua E. 
Lấy F, H trên đoạn NQ và G trên đoạn MP sao cho 
a
FN GP HQ
4
   . 
Lập luận tương tự như trên ta có các đường thẳng thỏa mãn điều kiện của đề bài phải đi qua một 
trong bốn điểm cố định E, F, G, H. 
Theo nguyên lý Dirichlet từ 2018 đường thẳng thỏa mãn điều kiện của đề bài phải có ít nhất 
2018
1 505
4
 
  
 
 đường thẳng đi qua một trong bốn điểm E, F, G, Hcố định, nghĩa là 505 
đường thẳng đó đồng quy.