Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD&ĐT Than Uyên (Có hướng dẫn chấm)

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 
 HUYỆN THAN UYÊN NĂM HỌC 2017 - 2018
 Môn thi: TOÁN
 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
 (Đề thi gồm có 01 trang)
 Câu 1. (4,0 điểm)
 2 3 193 33 7 11 1931 9 
 a) Thực hiện phép tính: A . : . .
 193 386 17 34 1931 3862 25 2 
 b) Rút gọn : B = (-5)0 + (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + + (-5)2016 + (-5)2017.
 Câu 2 (4,0 điểm). 
 12a 15b 20c 12a 15b 20c
 a) Tìm a, b, c biết và a + b + c = 48.
 7 9 11
 b) Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội I, II, III tỉ lệ với 7; 6; 5. Nhưng 
 sau đó vì số người của các đội thay đổi nên đã chia lại tỉ lệ với 6; 5; 4. Như vậy có một đội 
 làm nhiều hơn so với dự định là 6m3 đất. Tính tổng số đất đã phân chia cho các đội.
 Câu 3 (4,5 điểm).
 | x 2017 | 2018
 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = .
 | x 2017 | 2019
 3 8 15 n2 1
 b) Chứng tỏ rằng S = ... không là số tự nhiên với mọi n N, n > 2.
 4 9 16 n2
 c) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho: x - 2xy + y = 0.
 Câu 4 (5,5 điểm).
 Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy điểm 
 E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt 
 ở M và N. Chứng minh rằng:
 a) DM = EN.
 b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN.
 c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay 
 đổi trên cạnh BC.
 Câu 5 (2,5 điểm).
 Trong hình bên, đường thẳng OA là đồ thị của
 hàm số y = f(x) = ax.
 y 2
 a) Tính tỉ số 0 .
 x0 4
 b) Giả sử x0 = 5. Tính diện tích tam giác OBC
 -------------------------------------------------------------
 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm – SBD: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI
 HUYỆN THAN UYÊN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2017 - 2018
 Môn thi: TOÁN
 HDC CHÍNH THỨC (Đáp án gồm có 04 trang)
 Câu 1. (4,0 điểm)
 2 3 193 33 7 11 1931 9 
 a) Thực hiện phép tính: A . : . .
 193 386 17 34 1931 3862 25 2 
 b) Rút gọn : B = (-5)0 + (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + + (-5)49 + (-5)50.
 2 3 193 33 2 193 3 193 33 2 3 33
 • . = . . = = 1 0,75
 193 386 17 34 193 17 386 17 34 17 34 34
 7 11 1931 9 7 1931 11 1931 9 7 11 9
 • . = . . = = 
 a 1931 3862 25 2 1931 25 3862 25 2 25 50 2 0,75
 5
 1
 • A = 1 : 5 = 0,5
 5
 (-5)B = (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + + (-5)2016 + (-5)2017 + (-5)2018. 0,5
 B = (-5)0 + (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + + (-5)2016 + (-5)2017.
 b Do đó: (-5)B – B = (-6)B = (-5)2018 - 1 0,75
 ( 5)2018 1 1 52018
 Vậy B = = 0,75
 4 4
 Câu 2 (4,0 điểm). 
 12a 15b 20c 12a 15b 20c
 a) Tìm a, b, c biết và a + b + c = 48.
 7 9 11
 b) Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội I, II, III tỉ lệ với 7; 6; 5. Nhưng 
 sau đó vì số người của các đội thay đổi nên đã chia lại tỉ lệ với 6; 5; 4. Như vậy có một đội 
 làm nhiều hơn so với dự định là 6m3 đất. Tính tổng số đất đã phân chia cho các đội.
 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
 12a 15b 20c 12a 15b 20c 12a 15b 20c 12a 15b 20c
 = 0 0,25
 7 9 11 27
 12a 15b 
 0 1 2a 15b
 7 a b c
  12a 15b 20c 
 20c 12a 1 1 1 0,5
 0 20c 12a 
 9  12 15 20
 và a + b + c = 48
 a
 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
 a b c a b c 48
 = = 24 0,5
 1 1 1 1 1 1 1
 12 15 20 12 15 20 5
 a b c
 240 a 20 240 b 16 240 c 12
 1 1 1 0,5
 12 15 20
 Vậy a = 20; b = 16; c = 12. 0,25 Gọi tổng số đất đã phân chia cho các đội là x (m3) ĐK: x > 0. 0,25
 Số đất dự định chia cho ba đội I, II, III lần lượt là a, b, c (m3) ĐK: a,b,c > 0. 
 a b c a b c x 7x 6x 5x 0,25
 Ta có: a ;b ;c (1)
 7 6 5 18 18 18 18 18
 Số đất sau đó chia cho ba đội I, II, III lần lượt là a’, b’, c’ (m3) ĐK: a’,b’,c’ > 0.
 b a' b' c' a' b' c' x 6x 5x 4x 0,25
 Ta có: a' ;b' ;c' (2)
 6 5 4 15 15 15 15 15
 So sánh (1) và (2) ta có: a c’ nên đội I nhận nhiều hơn lúc đầu. 0,25
 7x 6x x
 Vì a – a’ = 6 hay = 6 4 x 360 0,25
 18 15 90
 Vậy tổng số đất đã phân chia cho các đội là 360m3 đất. 0,25
Câu 3 (4,5 điểm).
 | x 2017 | 2018
 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = .
 | x 2017 | 2019
 3 8 15 n2 1
 b) Chứng tỏ rằng S = ... không là số nguyên với mọi n Z, n > 2.
 4 9 16 n2
 c) Tìm số nguyên x, y sao cho: x - 2xy + y = 0.
 | x 2017 | 2018 x 2017 2019 1 1
 C = = = 1 
 | x 2017 | 2019 | x 2017 | 2019 | x 2017 | 2019 0,5
 Biểu thức C đạt giá trị nhỏ nhất khi | x 2017 | 2019 có giá trị nhỏ nhất 0,25
 a
 Mà | x 2017 | ≥ 0 nên | x 2017 | 2019 ≥ 2019. 0,25
 2018 0,25
 Dấu “=” xảy ra khi x = 2017 C = .
 2019
 2018 0,25
 Vậy giá trị nhỏ nhất của C là khi x = 2017.
 2019
 3 8 15 n2 1 22 1 32 1 42 1 n2 1
 S = ... = ... 
 4 9 16 n2 22 32 42 n2
 1 1 1 1
 = 1 1 1 ... 1 
 22 32 42 n2
 0,25
 1 1 1 1 
 = (1 1 1 ... 1) 2 2 2 ... 2 
 2 3 4 n 
 1 1 1 1 
 = (n 1) 2 2 2 ... 2 
 2 3 4 n 
 b
 S < n – 1 (1) 0,25
 1 1 1 1 1 1 1 1
 Nhận xét: < ; < ; < ; ; < 
 22 1.2 32 2.3 42 3.4 n2 (n 1).n
 0,25
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 ... < + + + + = 1– < 1.
 22 32 42 n2 1.2 2.3 3.4 (n 1).n n
 1 1 1 1 1 1 1 1 
 2 2 2 ... 2 >-1 (n 1) 2 2 2 ... 2 > (n–1)–1= n – 
 2 3 4 n 2 3 4 n 0,25
 2. S > n – 2 (2) 0,25
 Từ (1) và (2) suy ra n – 2 < S < n – 1 hay S không là số nguyên. 0,25
 Ta có:
 x - 2xy + y = 0.
 x(1 – y) + y = 0 0,5
 (1 – y) + x(1 – y) = 1
 (1 + x)(1 – y) = 1
 Ta có: 1 = 1.1 = (-1).(-1) 0,25
 c Ta có bảng:
 1 + x 1 -1
 1 – y 1 -1 0,5
 x 0 -2
 y 0 2
 abccjh
 Vậy (x;y) {(0;0);(-2;2)} 0,25
Câu 4 (5,5 điểm).
 Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy điểm 
E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt 
ở M và N. Chứng minh rằng:
 a) DM = EN.
 b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN.
 c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay 
đổi trên cạnh BC.
 GT ∆ABC
 AB = AC
 BD = CE
 MD BC; NE BC
 BC  MN = {I} 0,25
 KL a) DM = EN
 b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN
 Vẽ 
 c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm 
 hình;
 cố định khi D thay đổi trên cạnh BC
 Ghi 
 GT-
 KL
 0,5
 ∆MDB = ∆NEC (g.c.g) 0,75
 a DM = EN (cặp cạnh tương ứng)
 0,25
 MB = NC (cặp cạnh tương ứng)
 Ta có:
 b ∆MDI vuông tại D: D· MI M· ID 900 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông) 0,5
 ∆NEI vuông tại E: E· NI N· IE 900 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông) Mà M· ID N· IE (đối đỉnh) nên D· MI = E· NI
 ∆MDI = ∆NEI (g.c.g) 0,75
 IM = IN (cặp cạnh tương ứng) 0,25
 Vậy BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN 0,25
 Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC. 0,25
 ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền.cạnh góc vuông)
 0,25
 H· AB H· AC (cặp góc tương ứng)
 Gọi O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I. 0,25
 ∆OAB = ∆OAC (c.g.c)
 O· BA O· CA (cặp góc tương ứng) (1) 0,25
 c OC = OB (cặp cạnh tương ứng)
 ∆OIM = ∆OIN (c.g.c)
 0,25
 OM = ON (cặp cạnh tương ứng)
 ∆OBM = ∆OCN (c.c.c)
 0,25
 O· BM O· CN (cặp góc tương ứng) (2)
 Từ (1) và (2) suy ra O· CA O· CN =900, do đó OC  AC. 0,25
 Vậy điểm O cố định. 0,25
Câu 5 (2,5 điểm).
 Trong hình bên, đường thẳng OA là đồ thị của
 hàm số y = f(x) = ax.
 y 2
 a) Tính tỉ số 0 .
 x0 4
 b) Giả sử x0 = 5. Tính diện tích tam giác OBC
 Điểm A thuộc đồ thị hàm số y = ax nên tọa độ (2;1) của A phải thỏa mãn hàm 
 0,25
 số y = ax.
 1 1
 Do đó, 1 = a.2 a = . Vậy hàm số được cho bởi công thức y = x. 0,25
 2 2
 Hai điểm A và B thuộc đồ thị hàm số nên hoành độ và tung độ của chúng 
 0,25
 a tỉ lệ thuận với nhau. 
 y 1 2 y 2
 Suy ra 0 0 (theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau) 0,5
 x0 2 4 x0 4
 y 2 1
 Vậy 0 = . 0,25
 x0 4 2
 1 5
 Nếu x0 = 5 thì y0 = x0 = = 2,5. 0,25
 2 2
 Diện tích tam giác OBC là:
 b 1
 Áp dụng công thức S = (a.h) ta có:
 2 0,75
 1
 SOBC = . 5. 2,5 = 6,25.
 2
*Lưu ý. Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
 _________________Hết__________________
 (Cán bộ chấm thi: ..)