Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Có hướng dẫn chấm)

 SỞ GD&ĐT NINH BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
 Năm học 2013 – 2014
 ĐỀ THI CHÍNH THỨC
 MÔN: TOÁN
 Ngày thi: 15/3/2014
 (Thời gian 150 phút không kể thời gian phát đề)
 Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang
Câu 1 (6,0 điểm):
 2
 2 ab 1 a b 
 a) Rút gọn biểu thức: M 1 
 a b 4 b a 
 x 2 1 5 x 1 
 b) Giải phương trình: 2 
 9 x 3 3 x 
 1 1
 2 2
 x y
 c) Giải hệ phương trình: 
 1 1
 2 2
 y x
Câu 2 (3,0 điểm):
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình y = mx – 2 và 
 x 2
parabol (P) có phương trình y = . Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đường thẳng 
 4
(d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm các giá trị của m để đoạn AB có độ 
dài nhỏ nhất. 
Câu 3 (2,0 điểm):
 Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn 0 a;b;c 2
 1 1 1 9
 Chứng minh rằng: .
 (a b)2 (b c)2 (c a)2 4
Câu 4 (6,0 điểm):
 Cho đường tròn tâm O đường kính MN, dây cung AB vuông góc với MN tại điểm I nằm 
giữa O, N. Gọi K là một điểm thuộc dây AB nằm giữa A, I. Các tia MK, NK cắt đường tròn 
tâm O theo thứ tự tại C, D. Gọi E, F, H lần lượt là hình chiếu của C trên các đường thẳng 
AD, AB, BD. Chứng minh rằng: 
 a) AC.HF AD.CF
 b) F là trung điểm của EH
 c) Hai đường thẳng DC và DI đối xứng với nhau qua đường thẳng DN.
Câu 5 (3,0 điểm):
 Cho n và k là các số tự nhiên, A n 4 42k 1 .
 a) Tìm k, n để A là số nguyên tố.
 b) Chứng minh rằng: 
 + Nếu n không chia hết cho 5 thì A chia hết cho 5.
 + Với p là ước nguyên tố lẻ của A ta luôn có p – 1 chia hết cho 4.
 HẾT
Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .......................................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:..................................................................................................
 Giám thị 2:..................................................................................................