Đề thi chọn học sinh giỏi TP Đà Nẵng môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

ĐỀ THI CHỌN HSG TP ĐÀ NẴNG 
NĂM HỌC 2017-2018 
Câu 1: (1 điểm) 
Tính 
1 11 2
2 11 18 5 11
A

 
 
Câu 2: (1,5 điểm) 
Cho biểu thức 
2 1 1
:
1 1 1 2
x x x
A
x x x x x x
  
        
 với 0x  ; #1x 
Rút gọn A và chứng minh 
2
3
A  . 
Câu 3: (1,5 điểm) 
Cho đường thẳng md có phương trình: 2 1y mx m   ( m là tham số) 
a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi thì đường thẳng md luôn đi qua 1 
điểm H cố định. Tìm tọa độ của điểm H 
b) Tìm giá trị của m sao cho khoảng cách từ điểm A(1;2) đến md lớn 
nhất. 
Câu 4: (2 điểm) 
a) Tìm tất cả các số của x thỏa mãn 4 2 2 6 2 7 7x x x x        
b) Tìm tất cả  , ,x y z thỏa mãn 
2
2
2
2
1 1 0
x x y
y y z
x y z x
  

 

     
Câu 5: ( 1 điểm) 
Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu giảm chiều rộng đi 1m và tăng chiều 
dài thêm 2m thì diện tích không đổi; ngoài ra nếu giảm chiều dài đi 4m 
đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta được hình vuông. Tính diện tích 
thửa ruộng ban đầu. 
Câu 6: (1 điểm) 
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo 4AC  , 0150ABC  . Gọi E ; 
F lần lượt là chân đường cao hạ từ C đến AB và AD. Tính độ dài đoạn 
EF. 
Câu 7: ( 1 điểm) 
Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp  O . Tiếp tuyến tại B của đường tròn 
 O cắt đường thẳng qua C và song song với AB tại D. 
a) Chứng minh rằng: 2 .BC AB CD 
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ; E là giao điểm của CG và BD. 
Tiếp tuyến tại C của  O cắ BG tại F. Chứng minh rằng: EAG FAG 
LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TP ĐÀ NẴNG 
NĂM HỌC 2017-2018 
Câu 1: (1 điểm) 
Tính 
1 11 2
2 11 18 5 11
A

 
 
1 11 2
2 11 18 5 11
A

 
 
    1 11 2 11 2 18 5 11
4 11 49
  
 

9 11 5 11
2
7
A
  
  
Câu 2: (1,5 điểm) 
Cho biểu thức 
2 1 1
:
1 1 1 2
x x x
A
x x x x x x
  
        
 với 0x  ; #1x 
Rút gọn A và chứng minh 
2
3
A  . 
+ Rút gọn A 
2 1 1
:
1 1 1 2
x x x
A
x x x x x x
  
        
 Với 0x  ; #1x 
  
 
  
 
  
1 1 12 1
:
21 1 1 1 1 1
x x x xx x
A
xx x x x x x x x x
       
         
 
 
  
2
1 2
.
11 1
x x
A
xx x x
 
 
     
 
 
2
1
x
A
x x

 
+ Chứng minh 
2
3
A  . 
Xét hiệu 
2
3
A 
 
2 2
31
x
x x

 
 
 
 
2
2 16 2 2 2
3 1 3 1
xx x x
A
x x x x
   
 
   
 0 với 0x  ; #1x 
2
0
3
A   
2
3
A  
Câu 3: (1,5 điểm) 
Cho đường thẳng md có phương trình: 2 1y mx m   ( m là tham số) 
a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi thì đường thẳng 
md luôn đi qua 1 
điểm H cố định. Tìm tọa độ của điểm H 
b) Tìm giá trị của m sao cho khoảng cách từ điểm A(1;2) đến md lớn 
nhất. 
a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi tì đường thẳng md luôn đi qua 1 
điểm H cố định. Tìm tọa độ của điểm H. 
Gọi 0 0( ; )H x y là điểm cố định luôn đi qua md với mọi m. 
 0 0( ; ) mH x y d với mọi m 
Ta có:  0 0 0 02 1 1 2y mx m y x m       
0 0
0 0
2 0 2
1 0 1
x x
y y
    
  
    
 . Vậy ( 2; 1)H   
b) Khoảng cách từ điểm A(1;2) đến md 
 , 2 2
2 2 1 3 1
3 2
1 1
mA d
m m m
h
m m
   
  
 
Do (    2 2
2
1
1 2 1 2
1
m
m m
m

    

 ) 
Dấu “ = ” xảy ra khi 1m   
Khoảng cách từ điểm A(1;2) đến md lớn nhất là 3 2 khi 1m   
Câu 4: ( 2 điểm) 
a) Tìm tất cả các số của x thỏa mãn 4 2 2 6 2 7 7x x x x        
b) Tìm tất cả  , ,x y z thỏa mãn 
2
2
2
2
1 1 0
x x y
y y z
x y z x
  

 

     
a) ĐK 2x  
4 2 2 6 2 7 7x x x x        
   
2 2
2 2 2 3 7x x       
2 2 2 3 7x x       
2 2 2 3 7
2 2 2 3 7
x x
x x
      
 
     
2 2 6
5 7( )
x
loai
  
 

11x  ( t/m) 
b) 
2
2
2 (1)
2 (2)
1 1 0(3)
x x y
y y z
x y z x
  

 

     
( I) 
Thay (1) và (2) vào (3) ta có: 
2 22 2 1 1 0x x x y y x        
     
2 2
1 1 1 1 0x y x x         
Vế trái 0 ; Vế phải = 0 nên dấu bằng xảy ra khi: 
1 0 1
1 0 1
x x
y y
   
 
    
Suy ra 1z   
Vậy ( , , ) (1, 1, 1)x y z    
Câu 5: ( 1 điểm) 
Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu giảm chiều rộng đi 1m và tăng chiều 
dài thêm 2m thì diện tích không đổi; ngoài ra nếu giảm chiều dài đi 4m 
đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta được hình vuông. Tính diện tích 
thửa ruộng ban đầu. 
Gọi chiều rộng và chiều dài của thửa ruộng hình chữ nhật là x ; y 
với ( 1x  ; 4y  ) 
Nếu giảm chiều rộng đi 1m và tăng chiều dài thêm 2m thì diện tích 
không đổi nên ta có pt 
   1 . 2x y xy   (1) 
Nếu giảm chiều dài đi 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta được 
hình vuông nên ta có pt 
3 4x y   7x y   (2) 
Thế (2) vào (1) ta có: 
     8 . 2 . 7y y y y    
16y  ; 9x  
Vậy diện tích thửa ruộng ban đầu là: 16.9=144 ( 2m ) 
Câu 6: ( 1 điểm) 
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo 4AC  , 0150ABC  . Gọi E ; 
F lần lượt là chân đường cao hạ từ C đến AB và AD. Tính độ dài đoạn 
EF. 
Ta có: Tứ giác AECF nội tiếp vì ( 090AEC CFA  ) 
Nên: EAC CFE ( Cùng chắn cung EC ) 
FAC FEC ( Cùng chắn cung FC) 
DAC BCA ( so le trong) 
Suy ra: BAC CFE (g.g) 
0. 1.sin30 4. 2
2
BC AC CE AC
FE AC
CE FE BC
      
Câu 7: ( 1 điểm) 
Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp  O . Tiếp tuyến tại B của đường tròn 
 O cắt đường thẳng qua C và song song với AB tại D. 
a) Chứng minh rằng: 
2 .BC AB CD 
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ; E là giao điểm của CG và BD. 
Tiếp tuyến tại C của  O cắ BG tại F. Chứng minh rằng: EAG FAG 
 a) Ta có: BAC CBD ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây 
cung) 
ABC BCD ( so le trong) 
ABC BCD (g.g) 
AB BC
BC CD
  2 .BC AB CD  (1) 
b) Qua A kẻ tiếp tuyến tại C với  O cắt đường thẳng qua B song song 
với AC tại I, Cắt AF tại j. Nối AE cắt CD tại H. 
Chứng minh được: 2 .BC AC BI (2) 
Từ (1) và (2) ta có: 
. .
AB BI
AB CD AC BI
AC CD
   (3) 
Lại có: 
AN FN CN
AC JI
JB FB IB
   
Do AN NC JB IB   (4) 
Tương tự: 
AP EP BP
AB FI
CH EC CD
   
Do AP BP CD CH   (5) 
Từ (3),(4),(5) ta có: 
AB BJ AB AC
AC CH BJ CH
   
Suy ra: ABJ ACH (c.g.c) 
AHC BJA JAB HAC EAB FAC     .