Đề thi chọn học sinh giỏi vòng 2 tham dự kì thi học sinh giỏi quốc gia lớp 12 THPT năm 2015 môn Toán - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Có đáp án)

SỞ GDĐT NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG 2 THAM DỰ
KÌ THI HSG QG LỚP 12 THPT NĂM 2015
MÔN TOÁN
Ngày thi 31/10/2014
Thời gian làm bài 180 phút
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1 (4,0 điểm).
Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng 
 .
Câu 2 (4,0 điểm).
	Cho dãy số (xn) xác định bởi hệ thức 
	Tìm . 
Câu 3 (4,0 điểm).
Cho hai đường tròn (w1) và (w2) cắt nhau tại A, B. Gọi M là giao của hai tiếp tuyến tại A, B của (w1), đường thẳng d qua M cắt (w1) tại C và D. Gọi N, P lần lượt là giao điểm của AC và AD với (w2) (N, P ≠ A). Chứng minh rằng đường thẳng NP luôn đi qua một điểm cố định khi d thay đổi.
Câu 4 (4,0 điểm).
Với mọi số tự nhiên n, chứng minh rằng không có ước nguyên tố lẻ dạng 3k + 2.
Câu 5 (4,0 điểm).
	Ta viết ngẫu nhiên các số 1; 2; 3; ; 81 vào lưới ô vuông kích thước 9x9 (mỗi số xuất hiện 1 lần). Chứng minh rằng luôn tìm được hai ô cạnh nhau mà hiệu của hai số trong các ô đó không nhỏ hơn 6 (hai ô gọi là cạnh nhau nếu chúng có một cạnh chung).
----Hết----
Họ và tên thí sinh:..; Số báo danh:..
Họ và tên: Giám thị 1:
 Giám thị 2: