Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Khánh Hòa năm học 2010-2011môn thi: Toán – THPT (bảng A)

KÌ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH KHÁNH HÒA
NĂM HỌC 2010-2011Môn thi : Toán – THPT (Bảng A)
Ngày thi : 28/10/2010
(Thời gian : 180 phút – không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (3.0 điểm)
Với là số nguyên dương. Giải phương trình :
Bài 2: (3.0 điểm)
Giải hệ bất phương trình : 
Bài 3 : (2.5 điểm)
Cho không có góc tù thõa mãn hệ thức :
Hãy tính các góc của tam giác đó.
Bài 4 : (2.5 điểm)
Cho hàm số , có đồ thị là . Gọi là 3 điểm phân biệt trên .
Chứng minh rằng trực tâm cũng nằm trên .
Bài 5 : (2.0 điểm)
Chứng minh rằng : 
Trong đó là các số thực dương.
Bài 6 : (2.0 điểm)
Trong mặt phẳng, cho đường thẳng cố định và 1 điểm cố định trên . Gọi là đường tròn lưu động ở trong 1 nửa mặt phẳng có bờ . có bán kính và luôn tiếp xúc với , gọi là tiếp điểm. Gọi I là tâm của đường tròn . Chứng minh rằng có 1 parabol cố định sao cho trục đẳng phương của và đường tròn đường kính luôn luôn tiếp xúc khi thay đổi trên .
Bài 7 : (2.5 điểm)
Cho dãy số biết rằng: 
Chứng minh rằng dãy có giới hạn và tìm .
Bài 8 : (2.5 điểm)
Cho tập hợp có 100.000 phần tử. Hỏi có phân chia tập thành 100 tập hợp con hay không, sao cho các tập hợp thõa mãn các điều kiện sau:
_ Hợp tất cả các bằng tập hợp 
_ Mỗi có đúng 2010 phần tử.
_ đều có đúng 20 phần tử.
Gợi ý HD Giải:
BÀI 1:
Ta tách như sau: .
Mà: , viết tương tự cho các phần tử còn lại, ta có: .
Suy ra: .
BÀI 5:
Đặt 
( mà nó thì đúng do AM -GM)
BÀI 3:
Đẳng thức đã cho tương đương với .
Khảo sát hàm trên đoạn , ta có .
Từ đó suy ra .
Đẳng thức xảy ra đều.
BÀI 6:
Xét bài toán trong hệ trục tọa độ .
Giả sử 
Gọi là giao điểm thứ hai của và đường tròn đường kính . Ta có đối xứng với qua có phương trình . Suy ra .
Từ đó tìm được phương trình đường thẳng (cũng chính là trục đẳng phương của 2 đường tròn) là .
Đến đây ta dễ dàng chứng minh được luôn tiếp xúc với parabol