Đề thi chọn HSG lớp 12 THPT tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2011-2012 môn: Toán (dành cho học sinh THPT chuyên)

www.VNMATH.com 
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC 
—————— 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011-2012 
ĐỀ THI MÔN: TOÁN 
(Dành cho học sinh THPT Chuyên) 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. 
———————————— 
Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số :f   thỏa mãn điều kiện 
( ) ( ) ( ), ,f xy f x y f x y x y      
1. Hãy chỉ ra một hàm số không phải là hàm hằng và thỏa mãn bất đẳng thức trên. 
2. Chứng minh rằng ( ) 0f x  với mọi số thực .x 
Câu 2 (2 điểm). Cho dãy các số dương   1n na  thỏa mãn 
 1 2
1
2 0, 1 1.
k
k k k j
j
a a a a k 

      
Chứng minh rằng 1 220 1.k ka a kk     
Câu 3 (2điểm). Cho ba đường tròn      1 2 3, ,O O O đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Xét ba 
đường kính 1 2A A của  1 ,O 1 2B B của  2 1 2,O CC của  3O sao cho các vectơ 
1 2 1 2 1 2, ,A A B B C C
  
 cùng hướng. Chứng minh rằng các đường thẳng 1 2 1 2 1 2, ,AB BC C A đồng 
quy. 
Câu 4 (2 điểm). Cho hai số nguyên dương ,a b :  ; 1.a b  Gọi p là một ước nguyên tố lẻ của 
2 2k ka b ( k nguyên dương nào đó). Chứng minh rằng  11 mod 2 .kp  
Câu 5 (2 điểm). Cho số nguyên 2n  . Chứng minh rằng trong mọi họ gồm ít nhất 12 1n  tập 
hợp con không rỗng phân biệt của tập hợp {1, 2, , }n đều tìm được ba tập hợp mà một 
trong chúng là hợp của hai tập hợp còn lại. 
 Hết  
Họ và tên thí sinh . SBD . 
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Thí sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi. 
www.VNMATH.com
1 
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 
 HDC MÔN TOÁN – CHUYÊN 
Chú ý. 
- Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải, trong hướng dẫn chấm chỉ trình bày sơ lược một 
cách giải, nếu học sinh có lời giải đúng và khác với lời giải trong HDC, giám khảo vẫn 
cho điểm tối đa của phần đó. 
- Câu 3 (Hình học) không vẽ hình hoặc vẽ hình sai, không cho điểm. 
- Hướng dẫn chấm này có 4 trang. 
1. Câu 1 (2 điểm) 
Ý Nội dung trình bày Điểm 
Xét hàm số 2( ) 4,f x x x   . Ta có 
2 2
2 2 2
2 2 2
( ) 4,
( ) ( ) 4 2 4,
( ) ( ) 4 2 4.
f xy x y
f x y x y x y xy
f x y x y x y xy
 
       
       
0.5 
Suy ra 
   
2 2 2 2 2 2
2 2
( ) ( ) ( ) 4 2 4 2 4
4 4 0 2 0
f xy f x y f x y x y x y xy x y xy
xy xy xy
             
       
0.25 
1(1điểm) 
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi ,x y . Suy ra hàm số 2( ) 4f x x  với 
x là một hàm số khác hằng số thỏa mãn bất phương trình hàm đã cho. 
0.25 
Với 1x  , ta chọn ,x y sao cho xy x y  (tức là 
1
xy
x
  ) 0.25 
Từ giả thiết suy ra 
              0f xy f x y f x y f xy f x y f xy f x y           0.25 
Thay 
1
xy
x
  vào ta được 
2 2 0, 1.
1
x xf x
x
      
 (1) 0.25 
2(1điểm) 
Để ý rằng  2 2 : \ 1
1
x x x
x
     
  , từ (1) suy ra   0 .f x x   0.25 
Câu 2 (2 điểm). 
Nội dung trình bày Điểm 
Từ điều kiện thứ nhất suy ra dãy  kb , với 1k k kb a a   , là dãy số giảm. 0.25 
Từ đó, nếu 1 0k ka a d    thì      1 1 2 1 0k k m k k k k k m k ma a a a a a a a md                 
Suy ra k m ka a md   và do đó với k đủ lớn thì 1k ma   , mâu thuẫn với điều kiện thứ hai. 
 Vậy 1 0.k ka a   (1) 
0.5 
www.VNMATH.com
2 
Giả sử tồn tại k sao cho 1 22k ka a k  . Khi đó với mọi i k đều có 1 1 2
2
i i k ka a a a k 
    (do dãy 
 kb giảm) 
0.25 
Do đó      1 1 2 22 12 1 1,2, , .ki k j j i
j i
k i
a a a a k i a i k
k k 
             0.5 
Nhưng khi đó  2 2 2 2
1
12 4 2 1 11 1,
k
i
i
k kk ka
k k k k k k
           mâu thuẫn với điều kiện 2. 
Do đó 1 22 .k ka a k  (2) 
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. 
0.5 
Câu 3 (2điểm). 
Nội dung trình bày Điểm 
Gọi các điểm như hình vẽ. Do    3 2 3
2
; :RV A O O
R
    
 nên 2 1, ,B A C thẳng hàng và 1 2, ,B C A thẳng 
hàng. Tương tự, cũng được 1 2, ,C A B thẳng hàng; 2 1, ,C A B thẳng hàng; 1 2, ,A B C thẳng hàng và 
2 1, ,A B C thẳng hàng. 
0.5 
Gọi D là giao điểm của các đường thẳng 2 1 1 2, ,A C AB t là tiếp tuyến chung tại A của    2 3, .O O Ta có 
       
       
1 2 1 1 2 2 1 2; ; ; ;
; ; ; mod
DB DC DC DB C D C B B C B D
AB t t AC AB AC 
  
   
Suy ra , , ,A B C D cùng nằm trên một đường tròn. 
0.5 
Bằng lập luận tương tự, cũng được các đường thẳng 1 2 1 2,C A BC cắt nhau tại  D ABC và các đường 
thẳng 1 2 1 2,AB BC cắt nhau tại điểm D nằm trên đường tròn này. 
0.5 
Từ đó, do một đường thẳng và một đường tròn có không quá hai điểm chung nên D D D   hay 
1 2 1 2 1 2, ,AB BC C A đồng quy. 0.5 
t
D A1
A2
C1
C2
B1
B
O3
O2
C
A
O1B2
www.VNMATH.com
3 
Câu 4 (2điểm). 
Nội dung trình bày Điểm 
Từ giả thiết suy ra   1 12 2 2 2 2 2| k k k k k kp a b a b a b     và 1 1| p pp a b  (do định lý Fermat) 0.5 
Gọi h là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho  modh ha b p thế thì 12kh  và 
 1| 2 ; 1 : 2k sh p h    0.5 
Giả sử ,s k ta có 
     1 12 2 2 2 2 2mod mod mods s s s k ka b p a b p a b p      0.5 
Từ đó, do 2 2| k kp a b suy ra 
22
2
||2
|2 2 |
kk
k
p
b
p ap a
p p b
     
Do lÎ 
Mâu thuẫn với  ; 1.a b  Vậy  1 12 1 mod 2 .k kh p    
0.5 
Câu 5 (2điểm). 
Nội dung trình bày Điểm 
Ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp quy nạp. 
Với 2n  thì tập hợp {1, 2} chỉ có đúng ba tập con không rỗng {1},{2},{1;2} và {1;2} {1} {2}  0.5 
Với 2n  . Giả sử có 2 1n  tập con không rỗng của tập hợp {1, 2,3, , 1}n  . 
 Nếu ít nhất trong 12 1n  tập hợp trong chúng không chứa phần tử 1n , thì sử dụng giả thiết 
quy nạp, được điều phải chứng minh. 
0.5 
 Nếu ít nhất 12 2n  tập hợp chứa 1n , thì loại bỏ 1n khỏi những tập này, ta thu được ít nhất 
12 1n  tập con không rỗng, phân biệt của S và một tập con { 1}n  . Do đó, áp dụng giả thiết 
quy nạp, có ngay điều phải chứng minh. 
0.5 
 Nếu có đúng 12n tập con không chứa 1n , thì có đúng 12n tập con chứa 1n (số phần tử lớn 
hơn 1) và tập con { 1}n  . 
Loại bỏ 1n trong những tập con này, ta được 2n tập con không rỗng của {1, 2, , }n , và do đó 
trong chúng phải có hai tập hợp trùng nhau, gọi tập đó là A . Khi đó rõ ràng 
{ 1} {1, 2, , 1}A n B n      (ĐPCM) 
0.5 
-------------------------------------Hết-------------------------------- 
www.VNMATH.com