Đề thi chọn HSG Toán tỉnh Đồng Nai năm 2010-2011 (Vòng 1)

Đề thi chọn HSG toán tỉnh Đồng Nai năm 2010-2011 (Vòng 1)
Câu 1: Giải phương trình trên tập số thực: .
Câu 2: Cho . Chứng minh rằng: .
Câu 3: Giải phương trình: .
Câu 4: Cho là 2 số nguyên dương chẵn, là 2 số nguyên dương lẻ sao cho .
Chứng minh là hợp số.
Câu 5: Cho hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông. di động trên đoạn .
Lấy thuộc cạnh sao cho .
Chứng minh: luôn cắt và vuông góc với một đường thẳng cố định khi thay đổi.
Gợi ý HD giải :
Câu 1:
Có : 
Vậy nên nghiệm của phương trình trên là : .
CÂU 2:
Theo Cauchy Schwarz có :
.
Bây giờ cần chứng minh : .
Bất đẳng thức này tương đương : 
Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đề bài được chứng minh.
CÂU 3:
Dễ có 
Biến đổi phương trình về dạng tức là .
Xét hàm số . Lấy đạo hàm g(x) ta có g(x) đồng biến trên (-00; +00). Do đó phương trình trở thành:
Vậy nghiệm của phương trình là: .
CÂU 4:
Lời giải: Nếu là số nguyên tố.
Trong thì sự kiện dẫn đến là số nguyên tố.
Từ đó chỉ xảy ra khi hoặc .
Bây giờ áp đặt điều này với và là có điều mâu thuẫn.
Bài này chính là một phần chứng minh của Định lý
Mọi số nguyên tố p=4k+1 đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng của hai số chính phương.
Lời giải. Giả sử có số nguyên tố .
Khi đó hay hoặc .
Mặt khác nên hoặc (mâu thuẫn do p là số lẻ).
Do đó suy ra .
Lại có nên , trái với giả thiết.