Đề thi Dự trữ Toán khối A - Năm 2007

Đề thi Dự trữ khối A-năm 2007
Đề I
Câu I: Cho hàm số 
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số đến các đường tiệm cận của nó là hằng số.
Câu II: 
1. Giải phương trình: 
2. Tìm m để phương trình: có nghiệm x 
Câu III: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (-1;3;-2), B (-3,7,-18) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0
1. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P).
2. Tìm tọa độ điểm M Î (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Câu IV: 
1. Tính 
2. Giải hệ phương trình: 
Câu Va (cho chương trình THPT không phân ban):
1. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 = 1. Đường tròn (C') tâm I (2,2) cắt (C) tại các điểm A, B sao cho . Viết phương trình đường thẳng AB.
2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007 mà mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau? 
Câu Vb (cho chương trình THPT phân ban):
1. Giải bất phương trình: 
2. Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 và . Gọi M là trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh MB^MA1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM).
Bài giải
Câu I:
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (Bạn đọc tự làm)
2. Gọi (C ) là đồ thị của hàm số.
 M(x,y) Î ( C ) Û 
	 Phương trình tiệm cận xiên 
	 khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên là 
	khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là 
 Ta có : hằng số.
Câu II:
1. Giải phương trình : (1)
(1)	Û - cos22x - cosxcos2x = 2cos2x và sin2x ¹ 0
	Û 
	Û cos2x = 0 Û 
2. Đặt Û t2 - 2 = x2 - 2x
	Bpt (2) Û 
	Khảo sát với 1 £ t £ 2
	g'(t) . Vậy g tăng trên [1,2]
	Do đó, ycbt bpt có nghiệm t Î [1,2]
Câu III:
1. 	Ta có cùng phương với 
	mp(P) có PVT 
	Ta có = (6 ;15 ;3) cùng phương với (2;5;1)
	Phương trình mp chứa AB và vuông góc với (P) là :
	2(x + 1) + 5(y - 3) + 1(z + 2) = 0
	Û 2x + 5y + z - 11 = 0
2. Tìm M Î (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
 Vì khoảng cách đại số của A và B cùng dấu nên A, B ở cùng phía với 
 Mp (P). Gọi A' là điểm đối xứng với A qua (P)
	Pt AA' : 
	AA' cắt (P) tại H, tọa độ H là nghiệm của 
	Vì H là trung điểm của AA' nên ta có :
	Ta có (cùng phương với (1;-1;3) )
	Pt đường thẳng A'B : 
	Vậy tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình 
Câu IV:
1. Đặt 
	Đổi cận t(4) = 3, t(0) = 1 
	Vậy 
	 = 
2. Giải hệ phương trình 
	Đặt u = x - 1, v = y - 1
	(I) thành 
	Xét hàm 	f(x) 
	 f ´(x) 
	Vậy f đồng biến nghiêm cách trên R.
 Nếu u > v f(u) > f(v) v > u ( vô lý )
 Tương tự nếu v > u cũng dẫn đến vô lý
	Do đó hệ (II) 
	Đặt: g(u)
	Vậy g(u) đồng biến nghiêm cách trên R.
	Ta có g(0) = 1. Vậy u = 0 là nghiệm duy nhất của (1)
	Nên (II) Û u = 0 = v
	Vậy (I) Û x = y = 1.
Câu Va:
1.Đường thẳng OI nối 2 tâm của 2 đường tròn (C), (C') là đường phân giác y = x . Do đó, đường AB ^ đường y = x Þ hệ số góc của đường thẳng AB bằng - 1.
	Vì AB Þ A, B phải là giao điểm của (C) với Ox, Oy.
	Suy ra 
	Suy ra phương trình AB : y = - x + 1 hoặc y = - x - 1.
Cách khác: phương trình AB có dạng: y = - x + m.
Pt hoành độ giao điểm của AB là 
 x2 + (- x + m)2 = 1(2)
 (2) có , gọi x1, x2 là nghiệm của (2) ta có :
Vậy phương trình AB : y = - x .
2. Gọi là số cần lập.
	. TH1 : a4 = 0, ta có 8 cách chọn a1 (vì a1 ³ 2)
	 8 cách chọn a2
	 7 cách chọn a3
	 (1 cách chọn a4 )
	Vậy ta có 8.8.7.1 = 448 số n.
	. TH2 : a4 ¹ 0 vì a4 chẵn. Ta có :	4 cách chọn a4
	7 cách chọn a1
	8 cách chọn a2
	7 cách chọn a3
	Vậy ta có 4.7.8.7 = 1568 số n
	Vậy cả 2 trường hợp ta có : 448 + 1568 = 2016 số n. 
Câu Vb:
1. Điều kiện x > 0 , x ¹ 1
	(1) 
2. (Bạn đọc tự vẽ hình)
Chọn hệ trục Axyz sao cho: A º 0, , 
 và 
	Ta có: 
	Ta có thể tích khối tứ diện AA1BM là :
	Suy ra khoảng cách từ A đến mp (BMA1) bằng 
Cách khác: 
 + Ta có 
 vuông góc với 
 + Hình chóp MABA1 và CABA1 có chung đáy là tam giác ABA1 và đường
 cao bằng nhau nên thể tích bằng nhau.
(Sưu Tầm)