Đề thi học sinh giỏi cấp Huyện môn Toán Lớp 9 (Đề thi vòng II) - Năm học 2008-2009 - Phòng GD&ĐT Hải Lăng (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG 
 KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 
CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 
ĐỀ THI VÒNG II 
 (Thời gian làm bài 120 phút) 
Bài 1: (2 điểm) Cho a, b, c  Q; a, b, c đôi một khác nhau. 
 Chứng minh rằng 
     222
111
accbba 




 bằng bình phương của một số 
hữu tỷ. 
Bài 2: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 5x + 2.5y + 5z = 4500 
với x < y < z. 
Bài 3: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = 2
2 14
x
xx 
Bài 4: (2 điểm) Tìm một số có hai chữ số; biết rằng số đó chia hết cho 3 và nếu 
thêm số 0 vào giữa các chữ số rối cộng vào số mới tạo thành một số bằng hai lần 
chữ số hàng trăm của nó thì được một số lớn gấp 9 lần số phải tìm. 
Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có góc BAC = 200. Trên AC lấy 
điểm E sao cho góc EBC = 200. cho AB = AC = b, BC = a 
a) Tính CE. 
b) Chứng minh rằng a3 + b3 = 3ab2. 
---------------------------------------- 
Hướng dẫn và thang điểm chấm Toán vòng 2 
Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2008-2009 
Bài 1: (2 điểm) 
     222
111
accbba 




 = 
= 




















 baacaccbcbbaaccbba
1
.
11
.
11
.
1
2
111
2
 (1đ) 
))()((
2
111
2
accbba
bacbac
accbba 












 (0.5đ) 
= 
2
111










 accbba
 (0.5đ) 
Bài 2: (2 điểm) 5x + 2.5y + 5z = 4500 (*) 
 5
x
 ( 1+ 2.5
y-x + 5z-x ) = 4500 = 22 . 33 . 53 (0.5đ) 
 5
x
 = 5
3 
; 1+ 2.5
y-x + 5z-x = 36 = 1 + 35 (0.5đ) 
 x = 3
; 5
y - x ( 2 + 5 z-y ) = 5 . 7 (0.25đ) 
 x = 3
; y – 3 = 1 ; 2 + 5 
z-y = 7 = 2 + 5 (0.25đ) 
 x = 3
; y = 4 ; z – y = 1 (0.25đ) 
 x = 3
; y = 4 ; z = 5 thoả (*) (0.25đ) 
Bài 3: (2 điểm) 
A = 2
2 14
x
xx 
 = 
2
14
1
xx
 (0.5đ) 
= 






2
14
43
xx
 (0.5đ) 
= 
2
1
23 






x
3 (0.5đ) 
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi 
2
1
0
1
2  x
x
 (0.5đ) 
Bài 4: (2 điểm) 
 Gọi số cần tìm là ab . Ta có: 3
_
ab và 
_____
920 ababa  (0.25đ) 












ba
ba
baaba
ba
23
3)(
)10(92100
3)( 
 (0.5đ) 
 Từ 3223 bba  mà 31)3,2( b do 33)(  aba  mà 223  aa  (0.5đ) 
 Ta có 9691,61)3,2(,2,3  baaaaa  Vậy 69
__
ab (0.5đ) 
A 
D 
C 
B 
Bài 5: (2 điểm) 
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác BCE (hai tam giác cân có góc đỉnh bằng 
20
0
 và góc đáy bằng 800) nên 
AB
BC
BC
CE
 (0.5đ) 
Và BE = BC = a, suy ra CE = 
b
2a
 (0.5đ) 
b) Dựng AD BE, suy ra BD = 
2
1
AB = 
2
1
b 
 ta có: AE
2
 = ED
2
 + AD
2
, AB
2
 = BD
2
 + AD
2
 do đó 
 AB
2
 = BD
2
 + EA
2
 - DE
2
 (0.5đ) 
Thay vào ta được: 
2222
2
24












 a
b
b
a
b
b
b 
 = aba
b
a
b
a
b
b
 2
2
2
2
4
2
2
4
2
4
 322444 3 abbaabb  
233 3abba  (0.5đ) 
E