Đề thi học sinh giỏi cấp Thành Phố môn Toán Lớp 9 - Đề 4 - Phòng GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
T4
ĐỀ THI HSG TOÁN CẤP THÀNH PHỐ
Môn: Toán lớp 9
Thời gian làm bài 150 phút
Câu 1 (2 điểm)
a) Cho Tính giá trị biểu thức
	Q = .
b) Cho 3 số a, b, c thoả mãn và . Chứng minh rằng 
Câu 2 (2 điểm) Gải phương trình và hệ phương trình sau:
a) 
b) 
Câu 3 (2 điểm)
a) Cho a, b, c là các số nguyên tố, thoả mãn . Chứng minh là hợp số.
b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 
Câu 4 (3 điểm): Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp 
tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. 	
a) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D). Chứng minh: AE.AD = AH.AO 	
b) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh AD tại K và cắt đường BC tại F. Chứng minh FD là tiếp tuyến của đường tròn (O). 	
c) Gọi I là trung điểm cạnh AB, qua I vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh AO tại M và đường thẳng này cắt đường thẳng DF tại N. Chứng minh: ND = NA. (0.5đ)
Câu 5 (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
với x, y, z là ba số thực dương thay đổi có tổng bằng .
----------------------------Hết----------------------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1
a
Ta có a + b + c vì nếu a + b + c = 0 thế vào giả thiết ta có
 (vô lí).
Khi a + b + c ta có
 + a + b + c = a + b + c
 = 0 Q = 0.
0,25
0,25 
0,25 
0,25 
b
và 
 (vì )
Vậy 
0,25 
0,25
0,25 
0,25 
2
a
Đk: 
 (x2 – 8x + 16) + (x + 5 - 6 + 9) = 0
 ( x – 4)2 + (- 3)2 = 0
 . 
Vậy x = 4.
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
b
 (vì )
 (3) thế vào (2)
Thế x1 = 1 và x2 = -3 vào (3) ta được y1 = -1 và y2 = 7
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (1; -1) hoặc (-3; 7)
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
3
a
	Mà 
Do a, b, c là các số nguyên tố là hợp số.
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
b
 (x, y)
(x – 1)(x + 1) - y(x – 1) – 2y2 (x – 1) + x – 1 = 1
(x-1)(x+1-y-2y2+1)=1
Vậy cặp số nguyên thỏa mãn là : (2,1) ; (0 ;1)
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
4
0,25 
a
 Ta có: AB = AC ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
 OB = OC (= bán kính)
 Þ AO là đường trung trực của đoạn thẳng BC 
 Þ OA ^ BC tại H 
Ta có DBED nội tiếp đường tròn (O) đường kính BD 
 Þ DBED vuông tại E
 Þ BE ^ AD tại E 
 Áp dung hệ thức lượng chứng minh AH.AO = AB2 (1)
 Áp dung hệ thức lượng chứng minh AE.AD = AB2 (2)
 Từ (1) và (2) suy ra AE.AD = AH.AO 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
b
Áp dung hệ thức lượng chứng minh (3)
Chứng minh DOHF ~ DOKA (g-g) Þ (4)
 Từ (3) và (4) suy ra: 
 Mà OD = OB (bán kính)
 Þ 
 Chứng minh DOKD ~ DODF (c-g-c)
 Từ đó suy ra 
 Þ DF ^ OD tại D 
 Mà D thuộc (O)
 Þ FD là tiếp tuyến đường tròn (O) 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
c
Áp dụng Pitago ta có:
 ND2 + OD2 = NO2 (NOD vuông tại D)
 ND2 = NO2 – OD2 
 ND2 = (NM2 + OM2) – OB2 (OMN vuông tại M và OB=OD)
 ND2 = (NM2 + OM2) – (OI2 – IB2) (BOI vuông tại B)
 ND2 = (NM2 + OM2) – [(OM2 + MI2) – IA2] (IOM vuông tại M và IA = IB)
 ND2 = NM2 + OM2 – OM2 + (IA2 – MI2)
 ND2 = NM2 + AM2 (IAM vuông tại M)
 ND2 = NA2 (NAM vuông tại M)
 ND = NA 
0,25 
0,25 
0,25 
5
Mà 
Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương y, Z ta có:
Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương ta có 
Dấu đẳng thức xảy ra khi