Đề thi học sinh giỏi cấp trường Môn toán lớp 11 - Trường THPT Nguyễn Trân

Sở giáo dục và đào tạo Bình Định Gv ra đề Vũ Thanh Tú
 Trường THPT Nguyễn Trân
 Đề thi học sinh giỏi cấp trường
 Môn toán lớp 11, thời gian 150 phút ( không kể thời gian phát đề)
 Câu 1 (4đ) Cho hàm số 
Chứng minh rằng, nếu và phương trình có nghiệm hữu tỷ thì nghiệm đó là nghiệm nguyên.
Tìm các giá trị của để hàm số đồng biến trên khoảng .
 Câu 2 (6đ ) Giải hệ pt và bpt sau:
 1) 
 2).
 Câu 3 (4đ) Gọi A, B, C là ba góc của . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
 Câu 4 (6đ)
Chứng minh rằng, nếu thì đều.
Cho 2 hình vuông ABCD và BMNP sao cho điểm P nằm giữa B và C, điểm B nằm giữa A và M. Tính góc giữa hai đường thẳng AP và DN.
Đáp án và biểu điểm.
Câu 1(4đ)
1)(2đ) Nghiệm hữu tỷ nên . Do đó thì (0.5 đ). Lập luận và cũng chẵn, lẻ ( 1.5đ).
2) (2đ) Vì nên hàm số đồng biến trên (0.5đ)
Bài toán thoả mãn khi , tức là (1.5đ).
Câu 2 (6đ)
1)(3đ) Điều kiện 
Với , suy ra (0.5đ) do đóvà(0.5đ).
Kết luận tập nghiệm (2đ).
2)(3đ) (0.5đ)
Thay (1) vào (2) , suy ra hoặc hoặc (0.5đ)
Với thay vào (1) suy ra vô nghiệm (0.5đ)
Với thay vào (1) suy ra ; (0.5đ)
Với thay vào (1) suy ra ;(0.5đ)
Kết luận nghiệm của hệ (0.5đ).
Câu 3 (4đ)
=.(1.0đ)
Do đó (0.5đ)
Đk có nghiệm là (1.5đ)
Kết luận GTLN bằng khi tam giác cân tại A (1.0đ)
Câu 4 (6đ)
Từ giả thiết suy ra và và .(0.5đ)
Do đó, giả sử suy ra , tức là vuông tại C (1). Nếu suy ra cân tại A (2). Từ (1) và (2) suy ra có 2 góc vuông ( vô lý). Nếu suy ra , tức là vuông tại A ( điều này mâu thuẫn với (1)).(1.5đ)
Nếu suy ra cân tại C, nếu suy ra , tức là vuông tại A. Điều này vô lý.(1.0đ)
 Vậy thỏa mãn các đẳng thức trên. (0.5đ).
2)(3đ)
Đặt . Khi đó và . (1.0đ)
(1.5đ)
Kết luận góc cần tìm bằng (0.5đ).