Đề thi học sinh giỏi cấp trường Toán Lớp 7 - Năm học 2018-2019 (Có hướng dẫn chấm)

 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019
 MÔN TOÁN - LỚP 7
 (Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1. (4,0 điểm) 
 1 2 3 4 99 100
 Cho biểu thức : C ..... 
 3 32 33 34 399 3100
 3
 Chứng minh rằng : C < 
 16
 Bài 2. (5,0 điểm) 
 Câu 1: Tìm x, y, z biết : 3x = 4y = 5z – 3x - 4y và 2x + y = z - 38
 a 2 + b2 ab
 Câu 2: Cho tỉ lệ thức = với a, b, c, d ≠ 0 và c ≠ - d
 c2 + d2 cd
 a c a d
 Chứng minh rằng : = hoặc = 
 b d b c
Bài 3. (3,0 điểm) 
 Câu 1 : Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có 
 4n + 3 + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n chia hết cho 300
 27 - 2x
 Câu 2 : Cho Q = . Tìm các số nguyên x để Q có giá trị nguyên ?
 12 - x
 Bài 4. (3,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau 
 2 2
 H = 3x - 2y - 4y - 6x - xy - 24
Bài 5. (5,0 điểm). 
 Cho Δ ABC nhọn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng đoạn thẳng AD vuông 
góc với AB và AD = AB.Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B dựng đoạn thẳng AE 
vuông góc với AC và AE = AC. 
 1) Chứng minh rằng BE = CD . 
 2) Gọi M là trung điểm của DE, tia MA cắt BC tại H.Chứng minh MA  BC
 3) Nếu AB = c, AC = b, BC = a. Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c ?
 ----- Hết ----- HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
 MÔN TOÁN - LỚP 7 NĂM HỌC 2018-2019
 1 2 3 4 99 100
Bài 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức : C ..... 
 3 32 33 34 399 3100
 3
 Chứng minh rằng : C < 
 16
 Đáp án Điểm
 1 2 3 4 99 100 2 3 4 99 100
 Biến đổi: 3C 3. 2 3 4 ..... 99 100 1 2 3 ..... 98 99 
 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0,25
 Ta có 
 2 3 4 99 100 1 2 3 4 99 100 
 3C C 1 2 3 ..... 98 99 2 3 4 ..... 99 100 
 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 
 2 3 4 99 100 1 2 3 4 99 100
 4C 1 .... ..... 
 3 32 33 398 399 3 32 33 34 399 3100 0,25
 2 1 3 2 4 3 100 99 100 0,25
 4C 1 2 2 3 3 .... 99 99 100
 3 3 3 3 3 3 3 3 3
 1 1 1 1 100 0,25
 4C 1 .... 
 3 32 33 399 3100
 1 1 1 1
 Đặt D 1 .... 
 3 32 33 399
 1 1 1 1 1 1 1 0,25
 Ta có: 3D 3. 1 2 3 .... 99 3 1 2 .... 98
 3 3 3 3 3 3 3
 1 1 1 1 1 1 1 
 Khi đó: 3D D 3 1 2 .... 98 1 2 3 .... 99 
 3 3 3 3 3 3 3 
 1 1 1 1 1 1 1
 4D 3 1 .... 1 .... 
 3 32 398 3 32 33 399 0,25
 1 1 1 1 1 1 1
 4D 3 1 1 2 2 ... 98 98 99
 3 3 3 3 3 3 3 0,25
 1
 4D 3 
 399 0,25
 1 1 
 Suy ra D = . 3 - 99 
 4 3 0,25
 3 1
 D = - 
 4 4.399 0,25
 3 1 100
 Nên ta có 4C 99 100
 4 4.3 3 0,25
 3 1 100
 4C 
 4 4.399 3100 0,25 1 3 1 100 
 C . 99 100 
 4 4 4.3 3 0,25
 3 1 25
 C 
 16 42.399 3100 0,25
 3 1 25 
 C - 2 99 + 100 
 16 4 .3 3 0,25
 1 25 3 1 25 3 3
 Ta có 2 99 100 > 0 nên 2 99 100 < . Vậy C < 0,25
 4 .3 3 16 4 .3 3 16 16
Bài 2. (5,0 điểm) 
 Câu 1: (2,5 điểm) 
 Tìm x, y, z biết : 3x = 4y = 5z – 3x - 4y và 2x + y = z – 38
 Đáp án Điểm
 Ta có : 2x + y = z – 38 nên 2x + y – z = – 38 0,25
 + Vì 3x = 4y = 5z – 3x – 4y nên 3x = 5z – 3x – 3x
 0,25
 3x = 5z – 6x 9x = 5z 
 x z x z
 = = (1) 0,25
 5 9 20 36
 x y x y
 + Vì 3x = 4y = = (2) 0,25
 4 3 20 15
 x y z
 Từ (1) và (2) suy ra = 0,25
 20 15 36
 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có : 
 x y z 2x + y - z -38 0,25
 = = = - 2 
 20 15 36 2.20 + 15 - 36 19
 x
 Do đó : = - 2 x = (-2) . 20 = - 40 0,25
 20
 y
 = - 2 y = (-2) . 15 = - 30 0,25
 15
 z
 = - 2 z = (-2) . 36 = - 72 0,25
 36
 Vậy x = -40 ; y = -30 ; z = - 72 0,25
 Câu 2: (2,5 điểm) 
 a 2 b 2 ab a c a d
 Cho với a, b, c, d 0; c - d . Chứng minh rằng hoặc 
 c 2 d 2 cd b d b c
 Đáp án Điểm
 a 2 + b2 ab a 2 + b2 2ab
 Ta có: = nên = 
 c2 + d2 cd c2 + d2 2cd
 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có 0,25
 a 2 + b2 2ab a 2 + b2 + 2ab a 2 + b2 - 2ab
 = = 
 c2 + d2 2cd c2 + d2 + 2cd c2 + d2 - 2cd
 a 2 + ab + b2 + ab a 2 - ab + b2 - ab a + b 2 a - b 2
 = = 0,25
 c2 + cd + d2 + cd c2 - cd + d2 - cd c + d 2 c - d 2
 2 2
 a + b a - b a + b a - b a + b b - a
 Suy ra hoặc 0,25
 c + d c - d c + d c - d c + d c - d
 a + b a - b
 + Với thì a + b . c - d = a - b . c + d 0,25
 c + d c - d
 ac - ad +bc – bd = ac + ad –bc - bd 0,25
 a c
 ad = bc = 0,25
 b d
 a + b b - a
 + Với thì a + b . c - d = b - a . c + d 0,25
 c + d c - d
 ac - ad +bc – bd = bc + bd –ac - ad 0,25
 a d
 ac = bd = 0,25
 b c
 a 2 + b2 ab a c a d
 Vậy nếu = với a, b, c, d 0; c - d thì = hoặc = 0,25
 c2 + d2 cd b d b c
Bài 3. (3,0 điểm) 
 Câu 1: (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có 
 4n + 3 + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n chia hết cho 300
 Đáp án Điểm
Với mọi n nguyên dương, ta có 4n + 3 + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n = 4n .(43 + 42 - 4 - 1) 0,25
 = 4n .(64 + 16 - 4 - 1) = 4n .75 0,25
 = 4n - 1. 4 . 75 = 300 . 4n - 1 0,25
 Mà 300 . 4n - 1 chia hết cho 300 ( với mọi n nguyên dương )
 0,25
 Nên 4n + 3 + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n chia hết cho 300 ( với mọi n nguyên dương )
 27 - 2x
Câu 2: (2,0 điểm) Cho Q = . Tìm các số nguyên x để Q có giá trị nguyên ?
 12 - x
 Đáp án Điểm
 Điều kiện : x Z ; x ≠ 12
 27 - 2x 2.(12 - x) + 3 3 0,25
 Biến đổi Q = = = 2 + 
 12 - x 12 - x 12 - x
 Ta có 2 Z ; x Z ; x ≠ 12 
 3
 nên Q có giá trị nguyên khi và chỉ khi có giá trị nguyên 0,25
 12 x
 3
 Mà có giá trị nguyên khi và chỉ khi 12 x Ư(3)
 12 x 0,25
 Ư(3) = -3; -1; 1; 3 
 + Nếu 12 - x = - 3 thì x = 15 (thỏa mãn điều kiện) 0,25
 + Nếu 12 - x = -1 thì x = 13 (thỏa mãn điều kiện) 0,25
 + Nếu 12 - x = 1 thì x = 11 (thỏa mãn điều kiện) 0,25
 + Nếu 12 - x = 3 thì x = 9 (thỏa mãn điều kiện) 0,25
Vậy Q có giá trị nguyên khi và chỉ khi x 9; 11; 13; 15 0,25
Bài 4. (3,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau : 
 2 2
 H = 3x - 2y - 4y - 6x - xy - 24 .
 Đáp án Điểm
Ta có H = 3x - 2y 2 - 4y - 6x 2 - xy - 24
 2 2 2 2
 = 3x - 2y - 4. 2y - 3x - xy - 24 3x - 2y - 4. 3x - 2y - xy - 24 
 0,25
 2
 = - 3. 3x - 2y 2 - xy - 24 = - 3. 3x - 2y + xy - 24 
 Ta có 3. 3x - 2y 2 0 với mọi giá trị của x, y
 0,25
 xy - 24 0 với mọi giá trị của x, y
 2
 Do đó 3. 3x - 2y + xy - 24 0 với mọi giá trị của x, y 0,25
Nên - 3. 3x - 2y 2 + xy - 24 0 với mọi giá trị của x, y
 0,25
 Hay H ≤ 0 với mọi giá trị của x, y
 Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra khi và chỉ khi 3x - 2y 0 
 0,25
 và xy - 24 0 (1)
 x y
+ Với 3x - 2y = 0 thì 3x = 2y = 0,25
 2 3
 x y 0,25
Đặt = = k . Khi đó x = 2k ; y = 3k 
 2 3 Thay x = 2k và y = 3k vào (1) ta được 
 2k . 3k - 24 = 0 0,25
 6k2 = 24
 k2 = 4 k = 2 hoặc k = -2 0,25
 + Với k = 2 thì x = 2.2 = 4 
 0,25
 y = 3.2 = 6 
 + Với k = - 2 thì x = 2.(-2) = - 4 
 0,25
 y = 3.(-2) = - 6 
 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức H là 0 khi và chỉ khi x = 4; y = 6 
 0,25
 hoặc x = - 4; y = - 6 
Bài 5. (5,0 điểm).
 N
 E
 M
 D F - Nếu hình vẽ sai thì không chấm cả bài hình
 - Nếu câu trước làm sai thì HS vẫn có thể sử 
 A dụng kết quả câu trước để làm câu sau.
 I
 K
 C
 B H
 1) (1,5 điểm ). Chứng minh : BE = CD .
 + Ta có D· AC D· AB B· AC ( Vì tia AB nằm giữa 2 tia AD và AC ) 0,25
 Mà B· AD 900 (Vì AB  AD tại A )
 Nên D· AC 900 B· AC (1)
 · · ·
 + Ta có BAE CAE BAC ( Vì tia AC nằm giữa 2 tia AB và AE )
 0 0,25
 Mà C· AE 90 (Vì AE  AC tại A )
 Nên B· AE 900 B· AC (2)
 Từ (1) và (2) suy ra B· AE D· AC 0,25
 Xét ∆ ABE và ∆ ADC có :
 AB = AD (GT) 0,50
 B· AE D· AC (chứng minh trên)
 AE = AC (GT)
 Do đó ∆ABE = ∆ ADC (c – g - c) 
 BE = CD ( vì là hai cạnh tương ứng) 0,25
 2) (2,5 điểm). Chứng minh: MA  BC
 + Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho M là trung điểm của AN Từ D kẻ DF vuông góc với MA tại F
 Xét ∆ MAE và ∆ MDN có :
 MN = MA (Vì M là trung điểm của AN ) 0,25
 A· ME D· MN (chứng minh trên)
 ME = MD (Vì M là trung điểm của DE )
 Do đó ∆ MAE = ∆ MND (c – g - c) 
 Suy ra AE = DN ( vì là hai cạnh tương ứng ) 0,25
 và N· DM M· EA ( vì là hai góc tương ứng ) 
 Mà N· DM và M· EA ở vị trí so le trong của hai đường thẳng AE và DN 
 Nên AE // DN ( dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ) 0,25
Suy ra A· DN D· AE 1800 (Vì là hai góc trong cùng phía ) (3) 
 + Ta lại có D· AE +D· AB + ·BAC + E· AC = 3600 
 0,25
 Hay D· AE + B· AC = 1800 (Vì D· AB E· AC 900 ) (4)
 Từ (3) và (4) A· DN = ·BAC
 + Ta có AE = DN (chứng minh trên) và AE = AC (GT)
 Nên AC = DN 0,25
 Xét ∆ ABC và ∆ DAN có :
 AB = AD (GT )
 A· DN = ·BAC (chứng minh trên)
 AC = DN (chứng minh trên) 0,25
 Do đó ∆ ABC = ∆ DAN (c – g - c) 
Suy ra D· NA = A· CB ( vì là hai góc tương ứng ) hay D· NF = A· CB 
Ta có D· AF + B· AD + ·BAH = 1800 (Vì ba điểm F, A, H thẳng hàng)
 Hay D· AF + ·BAH = 900 ( Vì B· AD 900 ) (5)
 0,25
Trong ∆ ADF vuông tại F có :
 F· DA + ·DAF = 900 ( Vì là hai góc phụ nhau ) (6)
 Từ (5) và (6) F· DA = ·BAH
+ Ta có A· DN = N· DF + ·FDA ( Vì tia DF nằm giữa 2 tia DA và DN )
 B· AC = H· AC + B· AH ( Vì tia AH nằm giữa 2 tia AB và AC )
 0,25
Mà A· DN = B· AC và F· DA = ·BAH (chứng minh trên)
Nên N· DF = H· AC 
 Xét ∆ AHC và ∆ DFN có :
 N· DF = H· AC (chứng minh trên)
 AC = DN (chứng minh trên) 0,25
 D· NF = A· CB (chứng minh trên)
 Do đó ∆ AHC = ∆ DFN (g - c - g) 
Suy ra D· FN = A· HC ( vì là hai góc tương ứng ) 
 · 0 · 0
Mà DFN = 90 (Vì DE  MA tại F ) nên AHC 90 0,25
 Suy ra MA  BC tại H (đpcm)
3).(1,0 điểm). Nếu AB = c, AC = b, BC = a. Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c 
 + MA  BC tại H (chứng minh trên) nên ∆ AHB vuông tại H 0,25
 ∆ AHC vuông tại H
 Đặt HC = x HB = a - x ( Vì H nằm giữa B và C ) + Áp dụng định lý Py-ta-go cho 2 tam giác vuông AHB và AHC ta có: 0,25
 AH2 = AB2 - BH2 
 và AH2 = AC2 - CH2
 2 2 2 2 2 2 2 2
 AB - BH = AC - CH c - (a - x) = b - x 0,25
 a2 b2 c2
 Từ đó tìm được HC = x = 0,25
 2a
Chú ý: Học sinh giải theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tương ứng với từng câu, từng bài 
theo hướng dẫn trên./.
 ------------ Hết -------------------