Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT chuyên (Nam Định) năm học 2011 - 2012 môn thi: Toán - Đề số 02

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO 
NAM ĐỊNH 
KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CHUYÊN 
NĂM HỌC 2011 - 2012 
MÔN THI: TOÁN - ĐỀ SỐ 02 - NGÀY THI 21/10/2011 
(Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ) 
 Đề thi gồm 01 trang. 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
Bài 1:(5điểm) 
Giải hệ phương trình: 
4x y 2x y 2
2x y x y 1
⎧ + + + =⎪⎨ + + + =⎪⎩
Bài 2:(5điểm) 
Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 1; u2 = 2; n 1 n nu u (u 1) 2− + n ; n 2∀ ∈ ≥` . =+
Chứng minh rằng: là số chính phương . 2 2 21 2 nP (1 u )(1 u )...(1 u ) 1= + + + − *n∀ ∈`
Bài 3:(3điểm) 
Cho các số thực a; b thỏa mãn: Đa thức P(x) = x3 + ax2 + x + b có ba nghiệm thực là 
các số dương. Chứng minh rằng: 
2a(a 1) 9
a b 2
+ ≥− . 
Bài 4:(4điểm) 
Cho tam giác nhọn ABC không cân, trung tuyến AM, phân giác trong AD. Lấy N 
thuộc đoạn AD, kẻ (P thuộc cạnh AB). Giả sử đường thẳng qua P vuông 
góc với AD cắt đoạn AM tại Q. Chứng minh rằng QN
NP AB⊥
BC⊥ . 
Bài 5:(3điểm) 
Cho bộ 4 số (a; b; c; d), các số không đồng thời bằng nhau. 
Ta thực hiện phép toán sau: Nếu có bộ 4 số (x; y; z; t) (có kể thứ tự) thì được thay 
bằng bộ số . Chứng minh rằng từ bộ 4 số (a; b; c; d) ban 
đầu bằng cách thực hiện liên tiếp phép toán trên một cách thích hợp ta sẽ nhận được 
bộ 4 số mà tồn tại ít nhất 1 trong 4 số đó không nhỏ hơn 2012. 
(x y; y z; z t; t x)− − − −
HẾT 
Họ và tên thí sinh : ..Chữ kí của giám thị số 1. 
Số báo danh :........................Chữ kí của giám thị số 2