Đề thi học sinh giỏi Lớp 9 THCS môn Toán Thành phố Hồ Chí Minh - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN TOÁN 
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 
NĂM HỌC 2017-2018 
Câu 1: ( 3 điểm ) 
Cho hai số a , b thỏa điều kiện: 
2 2 4 4 11,
2
a b a b    . 
Tính giá trị của biểu thức 2018 2018P a b  . 
Câu 2: ( 3 điểm ) 
Giải phương trình: 5 2 3 6x x    . 
Câu 3: ( 2 điểm ) 
Hình bên gồm 9 hình vuông giống hệt nhau, mỗi hình 
vuông có diện tích 4 2cm . Các điểm , , ,A B C D là đỉnh 
của các hình vuông. Điểm E nằm trên đoạn CD sao 
cho AE chia 9 hình vuông thành hai phần có diện tích 
bằng nhau. Tính độ dài đoạn CE . 
Câu 4: ( 4 điểm ) 
1) Cho hai số thực x ,
y . Chứng minh rằng     2 2 21 1 2 1x y x y    . 
2) Các số ; ; ; ; ; ; ;A B C D A C B C A D B D    là tám số tự nhiên khác 
nhau từ 1 đến 8. Biết A là số lớn nhất trong các số 
, , ,A B C D . Tìm A
. 
Câu 5: ( 5 điểm ) 
1) Cho nửa đường tròn   O đường kính 4AB cm . Góc 
30DAB   và cung DB là một phần của đường tròn tâm 
 A . Tính diện tích phần tô đậm. 
2) Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau 
tại I . Đường thẳng qua I vuông góc AD cắt cạnh BC tại N . Đường 
thẳng qua I vuông góc BC cắt cạnh AD tại M . Chứng minh rằng nếu 
 2AB CD MN  thì ABCD là hình thang. 
Câu 6: ( 3 điểm ) 
Một ô tô dự định đi từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc không 
đổi là /v km h . nếu vận tốc ô tô đó tăng thêm 20% thì nó sẽ đến B sớm 
hơn dự định 1 giờ. Tuy nhiên sau khi đi được 120 km với vận tốc v , ô 
tô tăng thêm 25% và đến B sớm hơn dự định 48 phút. Tính quãng 
đường giữa hai thành phố. 
 LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN TOÁN 
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 
NĂM HỌC 2017-2018 
Bài 1: ( 3 điểm ) 
 Cho hai số a , b thỏa điều kiện: 
2 2 4 4 11,
2
a b a b    . 
 Tính giá trị của biểu thức 2018 2018P a b  . 
Ta có    
2
4 4 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 12 1
2 2 4 4
a b a b a b a b a a          
 
2
4 2 2 2 21 14 4 1 0 2 1 0
2 2
a a a a b         
Do đó    
1009 1009
1009 1009
2 2
1008
1 1 1
2 2 2
P a b
   
       
   
. 
Bài 2: ( 3 điểm ) 
Giải phương trình: 5 2 3 6x x    . 
ĐKXĐ: 3 5x   . Bình phương 2 vế của phương trình ta được: 
       5 4 5 3 4 3 36 4 5 3 19 3x x x x x x x           
Với ĐK: 
19
3
3
x   . Ta có phương trình 
    
2
16 5 3 19 3x x x    
225 146 121 0xx    
  1 25 121 0x x    
1
25
1
21
xx hay  ( thỏa mãn điều kiện) 
Vây phương trình có tập nghiệm 
121
1;
25
S
 
  
 
. 
Bài 3: ( 2 điểm ) 
Hình bên gồm 9 hình vuông giống hệt nhau, mỗi hình vuông có 
diện tích 4 
2cm . Các điểm , , ,A B C D là đỉnh của các hình 
vuông. Điểm E nằm trên đoạn CD sao cho AE chia 9 hình 
vuông thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tính độ dài đoạn
 CE . 
Mỗi hình vuông có diện tích 4
2cm nên mỗi hình vuông nhỏ có cạnh là 2 cm . 
2
9
1 1
4 .9.4
2 2
AOE OBMC hinhvuongS S S cm     
 
1 22.2 11
. 22
2 4 2
OAOE OE cm     ( vì 4.2 8OA cm  ). 
Vậy  
11 7
2
2 2
CE OE OC cm     ). 
Bài 4: ( 4 điểm ) 
1) Cho hai số thực x ,
y . Chứng minh rằng     2 2 21 1 2 1x y x y    . 
Ta có     2 2 21 1 2 1x y x y   
   
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 2 2
2 1 2 0
x y x y x xy
x x x y xy y
     
       
   
2 2
1 0x xy y     ( bất đẳng thức đúng). 
Vậy     2 2 21 1 2 1x y x y    
2) Các số ; ; ; ; ; ; ;A B C D A C B C A D B D    là tám số tự nhiên khác nhau từ 1 đến 
8. Biết A là số lớn nhất trong các số , , ,A B C D . Tìm A
. 
Ta có tổng của 8 số:
  3 36 12A B C D A B C D         (1) 
Mà 1 2 3 6 6.B C D A        
Hơn nữa 4 12 3.A A B C D A       
Nếu  4 , , 1;2;3 6.A B C D B C D       Điều này mâu thuẫn (1) 
Nếu    5 , , 1;2;3;4 . 1 7.A B C D B C D       Do đó  , , 1;2;4 .B C D 
Do A D và A C bé hơn bằng 8 nên , 4 4.C D B   Nếu 1, 2C D  thì 
6A C B D    là vô lý. Nếu 2, 1C D  thì 6A D B C    là vô lý. 
Do đó A chỉ có thể là 6, suy ra  , , 1;2;3;4;5B C D . Từ (1) ta có 6B C D  
. Do đó  , , 1;2;3B C D . Hơn nữa , 8A D A C   nên , 3C D  , suy ra 3B  
. Với 1, 2C D  hay 2, 1C D  đều thỏa mãn yêu cầu đề bài. Vậy 6A  . 
Bài 5: ( 5 điểm ) 
1) Cho nửa đường tròn   O đường kính 4AB cm . Góc 30DAB   và cung DB 
là một phần của đường tròn tâm A . Tính diện tích phần tô đậm. 


   
2
3
3
OAEphaàn traéng quaït OBE
S S S 
2
4 2
2 2 3
3 3
2 2 3
phaàn toâ ñaäm nöûa hình troøn quaït ABD phaàn traéng
S S S S
 


  
 
    
 
 
2) Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại I . 
Đường thẳng qua I vuông góc AD cắt cạnh BC tại N . Đường thẳng qua I
vuông góc BC cắt cạnh AD tại M . Chứng minh rằng nếu 2AB CD MN  thì 
 ABCD là hình thang. 
Gọi K là giao điểm của MI và BC 
Gọi F là trung điểm của BD 
Ta có: BIK KIC (cùng phụ với IBK ) và MDI KIC ( 2 góc nội tiếp cùng chắn
AB của  O ). 
  BIK MDI mà BIK MID (2 góc đối đỉnh) nên  MDI MID MID cân tại 
 M . MI MD 
  MAI MIA MAI cân tại M . MI MA 
 mà    MI MD MI MA M là trung điểm của AD . 
Ta có 
1 1
 ;
2 2
 MF AB NF DC 
mà 2AB CD MN  nên 2. 2. 2 , ,     MF NF MN MF NF MN M F N 
thẳng hàng. 
Từ đó suy ra //AB CD nên ABCD là hình thang. 
Bài 6: ( 3 điểm ) 
Một ô tô dự định đi từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc không đổi là /v km h . 
nếu vận tốc ô tô đó tăng thêm 20% thì nó sẽ đến B sớm hơn dự định 1 giờ. Tuy nhiên sau 
khi đi được 120 km với vận tốc v , ô tô tăng thêm 25% và đến B sớm hơn dự định 48 
phút. Tính quãng đường giữa hai thành phố. 
Đổi đơn vị : 48 phút 
48 4
60 5
  (giờ) 
Gọi  s km là quãng đường giữa hai thành phố A và   0B s 
Nếu vận tốc ô tô đó tăng thêm 20% thì nó sẽ đến B sớm hơn dự định 1 giờ nên ta 
có phương trình:  1 1
20% 6
   

s s s
v
v v
F
N
M
K
I
D
O
CA
B
Sau khi đi được 120 km với vận tốc v , ô tô tăng thêm 25% và đến B sớm hơn dự 
định 48 phút nên ta có phương trình: 
120 120 4
25% 5

  

s s
s v v v
 (2) 
 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
606
120 120 4 360
25% 5

 
 
    
 
s
v
v
s s s
s v v v
Vậy quãng đường giữa hai thành phố A và B .là 360 km .