Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Đề 10 - Phòng GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT TP HẢI DƯƠNG
T10
ĐỀ THI HSG LỚP 9
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài:150 phút
( Đề này gồm 05 câu, 01trang)
Câu 1 ( 2,0 điểm)
a) Tính tổng: 
b) Cho biểu thức 
Tìm các số nguyên dương n sao cho: [Sn] = 2.
Câu 2 ( 2,0 điểm) 
a) Giải phương trình: .
b) Giải hệ phương trình:
Câu 3 ( 2,0 điểm)
	a) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: .
b) Tìm các số hữu tỉ x, y thỏa mãn .
Câu 4 ( 3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A = 60o. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường thẳng ID cắt EF tại K, đường thẳng qua K và song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự tại M, N.
	a) Chứng minh: Các tứ giác IFMK và IMAN nội tiếp.
	b) Gọi J là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: A, K, J thẳng hàng.
	c) Gọi r là bán kính đường tròn (I) và S là diện tích tứ giác IEAF. Tính S theo r 
Câu 5: (1.0 điểm)
 Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn:++=2014
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ++
------------Hết----------
PHÒNG GD&ĐT TP HẢI DƯƠNG
Mã: T-Nguyễn Văn Minh-TB-TPHD
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG LỚP 9
MÔN: TOÁN
(hướng dẫn chấm  gồm 04 trang)
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
(2 điểm)
a. (1,0 điểm) 
Ta có: 
Do đó: (*)
Áp dụng (*) với n = 1; 2; 3; ..; 2015 ta có :
0,25 đ
0,25đ
0,25đ
Vậy S = 
 0,25đ
b. (1,0 điểm) .
 Trước hết ta chứng minh:
 với , n≥2.
Thật vậy:
 với mọi .
 với mọi .
Khi đó 
Để [Sn] = 2 thì 
Với n = 1; 2 thì Sn =1, [Sn] = 1.
Với n = 3; 4 thì , [Sn] = 2.
Vậy n = 3; 4 là các giá trị cần tìm.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2
(2,0điểm)
 a) Điều kiện: 
PT 
 (tmđk)
Vậy PT có nghiệm là x = 1
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
 b) Hệ PT 
Đặt 
 Hệ đã cho trở thành , ĐK : (*)
 ( TM(*))
Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình là:.
0,25đ
0,25đ
0,5đ
3
(2,0điểm)
a) 
Ta có: . 
Đặt (a, b là các số nguyên)
Khi đó pt trở thành: 
(vì b nguyên nên ) 	
Vì a, b nguyên nên phải là ước của 7 
· Với 
· Với (VN)
KL : Các số x, y nguyên thoả mãn điều kiện bài toán là:
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b) Xét (1)	ĐK: 
Do x, y là các số hữu tỉ nên từ (3) suy ra là số hữu tỉ.
· Nếu , từ (2) (mâu thuẫn vì VT là số vô tỉ, VP là số hữu tỉ)
· Nêu , kết hợp với (2) ta có:
Giải hệ trên ta có: hoặc 
Thử lại vào (1) ta thấy thỏa mãn.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 4
(3điểm)
Vẽ hình đúng
a) Ta có : MN // BC (gt), ((I) tiếp xúc với BC tại D) 
 Tứ giác IFMK nội tiếp.
Mặt khác : Tứ giác IKEN nội tiếp.
Ta có : (Tứ giác IFMK nội tiếp) ; (Tứ giác IKEN nội tiếp) Tứ giác IMAN nội tiếp.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b)Ta có :
Mặt khác : IE = IF (= r) cân tại I.
 cân tại I có IK là đường cao. IK là đường trung tuyến của 
K là trung điểm của MN 
Mà BC = 2.BJ (J là trung điểm của BC). Do đó: 
Mặt khác: có MN // BC (Hệ quả của định lý Thales)
Ta có: 
Xét và , ta có: 
 Hai tia AK, AJ trùng nhau.
Vậy ba điểm A, K, J thẳng hàng.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
c) AE, AF là các tiếp tuyến của đường tròn (I) AE = AF và AI là tia phân giác của 
Xét cân tại A có đều. EF = AE = AF.
 đều có AI là đường phân giác. AI là đường cao của 
Xét vuông tại EAE = IE.cot ;IE = AI.sin
 EF = AE = 
Vậy 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 5
(1điểm)
Đặt: a = ; b = ; c = (*) 
 a + b + c = 2014 (1)
Từ (*) =>x2 = ; y2 = ; z2 = 
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
y + z= b; z + x=c; 
 x + y= a
Từ đó ta có:T = ++(++)
T(+++++- a – b – c ) (2)
Áp dụng BĐT Cauchy ta lại có:
+b 2a; +b2c; +c2a; +c2b; +a2b; +a2c
=>+++++ 4(a +b+c)–2(a + b+ c) =2(a+b+ c)(3)
Từ (2) và (3) => T ( a + b + c) (4) ; 
Từ (1) và (4) => T . 2014. 
Vậy TMin = , khi x = y = z =.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa./.