Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Đề 2 - Phòng GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT TP HẢI DƯƠNG
T2
ĐỀ THI HSGLỚP 9
MÔN: Toán 9
Thời gian làm bài:150 phút
( Đề này gồm 5 câu1 trang)
Câu1.(2điểm):
Cho A = 1- với 
a, Rút gọn A
b, Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Câu 2.(2điểm):Giải các phương trình sau:
a) 
b).
Câu 3.(2điểm):
a) Đa thức f(x) khi chia cho x+2 thì dư 5 khi chia cho thì dư x+1.Tìm dư của phép chia f(x) cho.
b) Cho hai số nguyên dương a và b thoả mãn .Chứng minh rằng là hợp số.
Câu 4.(3điểm):
Cho đường tròn tâm O bán kính R, A là điểm cố định trên đường tròn. Vẽ tiếp tuyến Ax, lấy điểm M bất kì trên Ax, vẽ tiếp tuyến thứ hai MB với đường tròn (B là tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của MA, BI cắt đường tròn ở K, tia MK cắt đường tròn ở C. Chứng minh rằng:
a, Tam giác MIK đồng dạng với tam giác BIM.
b, BC song song với MA.
c, Khi điểm M di động trên Ax thì trực tâm H của tam giác MAB thuộc đường tròn cố định.
Câu 5.(1điểm)
Cho đường tròn (O, R) và dây BC < 2R. Điểm A chuyển động trên cung lớn BC, điểm D chuyển động trên cung nhỏ BC. Xác định vị trí của điểm A và D sao cho đạt 
giá trị nhỏ nhất. 
PHÒNG GD&ĐT TP HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THCS BÌNH MINH
T-01-HSG9-BM-PGDHD
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSGLỚP 9
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm  gồm 5 trang)
Câu
Đáp án
Biểu điểm
Câu 1
(2 đ)
`
a) A = 1 - 
 A = 1 - 
0,25
 A = 1 - 
0,25
 A = 1 - 
 A = 
0,25
 A = 
0,25
 b) Do nên 
0 < 
 hay 0 < A 
0,25
Vậy A là số nguyên A = 1
0,25
 1- + x = 1
	 	(0,25®iÓm)
 x = 0 hoặc x = 1
0,25
 Do điểu kiện x nên A = 1 khi x = 0.
0,25
Câu 2
(2 đ)
 a) 
 4x2 – 4x + 5 = (2x – 1)2 + 4 
	 12x2 – 12x + 19 =12+ 16 
	 ĐKXĐ: 
0,25
 Từ cách phân tích trên ta có: 
 2 	 (1)
	 4 	 (2)
0,25
Từ (1) và (2) => 
0,25
=> 2x – 1 = 0 và 
 x = 	 
 KL: Tập nghiệm của phương trình là: S = 
0,25
b)
 (1)
0,25
NhËn thÊy 
 = víi mäi x
0,25
Do ®ã (1) x2 = 0 x = 0.
0,25
VËy ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm duy nhÊt x = 0.
0,25
Câu 3
(2 đ)
Ta có: f(x)=(x2+2)(x+2).q(x) + ax2 + bx + c (1)
 =(x2+2)(x+2).q(x) + a(x2 + 2) + bx + c -2a
 =(x2+2){(x+2).q(x) + a}+ bx + c -2a
f(x) chia cho (x2+2) dư bx + c-2a
bx+c-2a = x+1 với mọi x 
L¹i cã f(x) chia cho x+2 dư 5 f(-2) = 5 (2)
Tõ (1) vµ (2) 4a – 2b + c =5
Gi¶i hÖ ta có 
VËy d­ cÇn t×m lµ x2+x+3
0,25
0,25
0,25
0,25
Ta có: (1)
Gọi d là ƯCLN của và và 
 và nguyên tố cùng nhau, kết hợp với (1) suy ra và là các số chính phương
0,25 
Lại có:
Suy ra là số chính phương
0,25 
Đặt 
0,25 
dễ thấy 
Nếu 
kết hợp với (vô lí)
Như vậy do đó lµ hîp sè.(đpcm)
0,25 
Câu 4
( 3 đ)
a) Chứng minh được IAK đồng dạng với IBA(g.g) 
 IA2 = IK.IB , mà I là trung điểm của AM 
nên IM2 = IK.IB 
Chứng minh được MIK đồng dạng với BIM (c.g.c)
0.25
 0.25
 0.5
b) Từ câu a IMK = MBI , lại cóMBI = BCK
 IMK = BCK BC // MA
0.5
0.5
c) H là trực tâm của MAB 
 tứ giác AOBH là hình thoi.
 AH = AO =R H (A;R) cố định.
0.5
0.5
Câu 5
(1 đ)
Víi AD bÊt k× th× víi mçi ®iÓm D trªn cung nhá BC lu«n chän ®­îc A trªn cung nhá BC sao cho ®Ó lµ nhá nhÊt.
KÎ t¹i H, ®­êng kÝnh t¹i K khi ®ã E, F, K cè ®Þnh.
Do (cïng ch¾n cung BD) nªn 
0.25
0.25
ta có 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
Do vËy 
DÊu b»ng khi AD trïng EF. VËy nhá nhÊt khi AD trïng EF,
0.25
0.25