Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Đề 3 - Phòng GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
T3
ĐỀ THI HSG LỚP 9
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
( Đề này gồm 5 câu, 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm)
Cho x, y, z là ba số đôi một khác nhau. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau: là một số nguyên.
Tính giá trị của biểu thức với x, y thỏa mãn đẳng thức: 
Câu 2 (2,0 điểm)
Giải phương trình 
Giải hệ phương trình 
Câu 3 (2,0 điểm)
a)Tìm tất cả các số tự nhiên a để a + 1, và đồng thời là các số nguyên tố.
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5x2 + 5y2 + 6xy - 20 x - 20 y + 24 =0
Câu 4 (3,0 điểm) 
Cho đường tròn (O), bán kính R, A là một điểm cố định trên đường tròn. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O), lấy điểm M tùy ý trên tiếp tuyến Ax, từ M kẻ tiếp tuyến thứ hai MB với đường tròn (O), B là tiếp điểm. I là trung điểm của MA, BI cắt đường (O) tại K, tia MK cắt (O) tại C.
a) Chứng minh MIK BIM;
b) Chứng minh BC AO;
c) Xác định vị trí của M trên Ax để tứ giác AMBC là hình bình hành.
Câu 5 (1,0 điểm)
Chứng minh rằng , 
với 
Hết
PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
Mã: T-Phạm Hữu Tuân-TP-TPHD
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG LỚP 9
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
( Hướng dẫn chấm gồm 7 trang)
+ Thí sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho đủ điểm thành phần tương ứng
Câu
Đáp án
Điểm
1
(2 điểm)
a. (1,00 điểm)
Đặt 
0,25
0,25
0,25
Do đó . Vậy giá trị của biểu thức S là một số nguyên.
0,25
b. (1,00 điểm)
 ĐKXĐ: 
Trường hợp 1: x 0, y > 0
P = = 
P = = = = 1
Vậy P = 1.
0,25
Trường hợp 2: Khi x 0, y < 0 ta có: P = = 
P = = = 
 = (1)
0,25
Từ và, chia 2 vế cho ta được: 
Đặt (vì ) ta có 4t2 – 16t + 9 = 0
= 64 – 4.9 = 28 (thỏa mãn)
 (thỏa mãn)
0,25
Thay vào (1) ta có: 
Thay vào (1) ta có:
Vậy P = 1; P = ; P = .
0,25
2
(2 điểm)
a. (1,00 điểm)
Lời giải
 (1)
Đặt: x2 = a; x + 1 = b; = c
(1) 
0,25
. (*) 
0,25
Thay a = x2; b = x + 1; c = vào (*)
3(x2 + x +1)(x + 1 + )(x2 + ) = 0 (**)
Vì x2 + x + 1 = 0; x2 + = 0 vô nghiệm.
Nên (**)x + 1 + = 0 
 x = -1 - 
0,25
Vậy nghiệm của phương trình là:
 x = -1 - .
0,25
Giải hệ phương trình
1,00
*Ta thấy x = 0, y = 0 là một nghiệm của hệ.
*Nếu x 0, y 0 chia cả hai vế của (1) cho y2 ta được:
 hoặc .
0,25
Với x = - y, thay vào (2) ta có: -y2 + 3y2 – y = 0 
 2y2 – y = 0 y(2y – 1) = 0 y = 0 hoặc
Với y = 0 x = 0.
Với .
0,25
Với x = 3y, thay vào (2) ta có: 
3y2 + 3y2 + 3y = 0 6y2 + 3y = 0 3y(2y+1) = 0 
 y = 0 hoặc 
Với y = 0 x = 0
Với 
0,25
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( 0 ; 0 ) ( ; ) (;
0,25
3
(2 điểm)
a. (1,00 điểm)
 Đặt .
 và
Do p là số nguyên tố nên và 
0,25
Ta có và 
Nếu p chia 5 dư 1 hoặc 4 thì 
là không số nguyên tố
0,25
Nếu p chia cho 5 dư 2 hoặc 3 thì 
 không là số nguyên tố
0,25
Vậy để và là nguyên tố thì 
Mà p là số nguyên tố nên 
Thử lại với a = 4 thì a + 1 = 5 nguyên tố; 4a2 + 8a + 5 = 101 nguyên tố; 6a2 + 12a + 7 = 151 nguyên tố.
Vậy a = 4 là giá trị cần tìm.
0,25
b. (1,00 điểm)
 5(x + y)2 - 4xy – 20(x + y) + 24 = 0
Đặt x + y = a, xy = b ta có: 5a2 – 4b – 20a + 24 = 0
 (1)
0,25
Mặt khác (x – y)2 0 (x + y)2 – 4xy 0 a2 4b hay (2)
Từ (1) và (2) 
0,25
Vì a nguyên nên a = 2, a = 3.
Với a = 2 b = 1 ta có 
Với a = 3 b = không nguyên nên loại.
0,25
Vậy phương trình có nghiệm nguyên (x ; y) là (1 ;1).
0,25
4
(3 điểm)
a. (1,00 điểm)
Xét AIK và BIA có:
 (cùng chắn cung AK)
Do đó AIK BIA (g.g)
0,25
, mà IA = IM (gt) 
0,25
Xét MIK vàBIM có:
 (cmt)
0,25
Do đó MIK BIM (c.g.c)
0,25
b. (1,00 điểm)
Ta có MIK BIM (chứng minh câu a)(góc tương ứng)
0,25
Mặt khác (cùng chắng cung BK)
0,25
Suy ra 
0,25
Mà và là hai góc ở vị trí so le trong. 
Do vậy BC//MA mà MA AO BC AO
0,25
c. (1,00 điểm)
Gọi giao điểm của BC và AO là D.
Để tứ giác AMBC là hình hình hành thì MA = BC MA = 2BD
0,25
Đặt AM = 2x BD = x.
Ta có (1) 
Và (OAB cân tại O) mà (cùng chắn cung AO của tứ giác AMBO nội tiếp) (2)
Từ (1) và (2) ABD MOA (g.g)
Suy ra (3)
 0,25
Mặt khác OD2 = OC2 – DC2= R2 – x2 (4)
Ta lại có AD = AO + OD 
 (5)
Đặt . Từ (5) 2t2 +Rt – R2 = 0 là phương trình bậc hai ẩn t.
0,25
 = 9R2 (loại)
Vậy M trên tia tiếp tuyến Ax sao cho AM = thì AMBC là hình bình hành.
0,25
5
(1 điểm)
1,00
Vì nên ta có : 
Do đó 
0,25
Ta có , 
vì (luôn đúng)
0,25
Ta lại có ,
vì (đúng với )
0,25
Từ (1), (2), (3) ta có: 
Dấu “=” xảy ra .
0,25
------------------- Hết -------------------