Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Đề 5 - Phòng GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
T5
ĐỀ THI HSG LỚP 9 
Môn thi: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề này gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử:
*) 	
**) 
b) Rút gọn biểu thức 
Câu 2 (2,0 điểm) 
Giải phương trình: 
 b) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 4 Èn sau:
Câu 3 (2,0 điểm) 
a) Cho (với n là số tự nhiên). 
Chứng minh rằng và là hai số nguyên và nguyên tố cùng nhau.
	b) Cho tam giác ABC vuông tại A có độ dài các cạnh là các số tự nhiên, hai trong ba số đó là các số nguyên tố và hiệu của chúng là 50. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ABC?
Câu 4 (3,0 điểm) 
 	Cho đường tròn (O; R) và dây BC không đi qua O. Điểm A di chuyển trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh AH = 2.MO
b) Chứng minh khi A di chuyển trên cung lớn BC thì H di chuyển trên một cung tròn cố định, hãy chỉ ra tâm và bán kính của cung tròn đó.
c) Cho biết BC = . Hãy tính giá trị biểu thức .
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho với a, b, c > 0.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
---------------------Hết----------------------------
PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THCS VÕ THỊ SÁU
T-01-HSG9-VTS-PGDHD
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG LỚP 9
 MÔN TOÁN 
(Hướng dẫn chấm gồm 5 trang)
Câu
Đáp án
Điểm
1
(2,5điểm)
a) (1,0 điểm)
0,25
0,5
0,25
0,5
b) (1,0 điểm)
Áp dụng kết quả phần a) ta có 
0,25
ĐKXĐ của M là 
0,25
Khi a >3 
0,25
Khi a £ -3, a - 4
0,25
2
(2,0điểm)
a) (1,0 điểm)
 ĐK 
0,25
Ta lần lượt xét các trường hợp:
Trường hợp 1: . Khi đó 
Do đó phương trình (1) vô nghiệm.
0,25
Trường hợp 2: 
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm ta có 
Do đó vế trái của (1) không lớn hơn. 
0,25
Nên từ (1) suy ra xảy đẳng thức ở các bất đẳng thức (2); (3); (4) và (5).
Để có đẳng thức, điều kiện cần và đủ là x = 2.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
0,25
b) (1,0 điểm)
Theo bµi ra: 
Nh©n (2) víi ( z + t) ta ®­îc 6 + 3zt = 4.( z + t)
0,25
Nh©n (3) víi ( z + t) ta ®­îc 10 + 4zt = 6.( z + t )
0,25
Tõ ®ã ta cã hÖ: 
0,25
Tõ ®ã: 
+) z = 1, t = 2, x = 2, y = 1
+) z = 2, t = 1, x = 1, y = 2
0,25
3
(2,0điểm)
a) (1,0 điểm)
Đặt 
Có 
Giả sử 	ta sẽ chứng minh . Thật vậy có 
Theo quy nạp toán học suy ra có giá trị nguyên với mọi số tự nhiên n (đ.p.c.m)
Đặt mà ta có 
Có 
 suy ra d = 1.
Vậy và là hai số nguyên và nguyên tố cùng nhau
b) 1,0 điểm
Đặt AB = c; BC = a; AC = b. Theo bài ra ta có và a > b; c
Theo Pi Ta Go có: (*)
*) Nếu b = c và cùng là số nguyên tố thì từ (*) suy ra (loại)
0,25
*) Nếu b khác c và cả hai số cùng là số nguyên tố, không mất tính tổng quát giả sử b > c khi đó từ (*) suy ra 
Mà a, b, c là các số tự nhiên khác 0 và a > b > c nên a + c > a – c > 1
Do đó b không là số nguyên tố (loại) vì vậy b và c không thể cùng là số nguyên tố 
0,25
Mà trong ba số a, b, c có hai số nguyên tố nên a phải là số nguyên tố.
Không mất tính tổng quát giả sử số nguyên tố còn lại là c theo đề bài suy ra a – c = 50 do đó a và c cùng tính chẵn lẻ. Do a > 50 mà a là số nguyên tố nên a là số lẻ suy ra c cũng là số lẻ.
Có 
 . Chu vi tam giác ABC là , do đó chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi c nhỏ nhất.
0,25
Từ (**) suy ra c + 25 là số chính phương nên mà c là số nguyên tố nên suy ra c nhỏ nhất là 11 khi đó 
Khi c = 11, ta có , còn a = 61, thoả mãn c, a là số nguyên tố.
Vậy GTNN của chu vi tam giác ABC là 132 đạt được khi các cạnh của tam giác ABC là 11; 60; 61
0,25
4
(3,5điểm)
a) (1,0 điểm)
Vẽ đúng hình phần a) 
0,25
Kẻ BN là đường kính của (O) chứng minh được tam giác BCN vuông tại C, Tam giác BAN vuông tại A.
0,25
Chứng minh được AH // CN; AN // CH suy ra AHCN là hình bình hành suy ra AH = CN (1)
0,25
Xét tam giác BCN có OM là đường trung bình suy ra CN = 2.MO (2)
Từ (1) và (2) suy ra AH = 2.MO (đ.p.c.m)
0,25
b) (1,0 điểm)
Lấy I đối xứng với O qua M suy ra OI = 2.MO = AH.
0,25
Lại có OI // AH (cùng // NC) suy ra AHIO là hình bình hành.
0,25
Suy ra IH = AO = R không đổi.
Do O, M cố định nên I cố định. Do đó H di chuyển trên đường tròn (I; R)
0,25
*) Giới hạn: H di chuyển trên cung BC của đường tròn (I; R) thuộc nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A.(trừ hai đầu mút B, C)
0,25
c) (1,0 điểm)
Phần d) học sinh có thể làm theo các cách khác nhau:
Cách thứ nhất:
Chứng minh được (g.g) suy ra 
Xét và có chung góc B và 
suy ra (c.g.c) suy ra (1)
Trên AH lấy điểm K sao cho (2) 
Từ (1) và (2) suy ra (g.g) suy ra 
và (3)
0,25
Chứng minh được suy ra (c.g.c) 
suy ra (4) 
Từ (3) và (4) suy ra (5)
0,25
Chứng minh được (g.g) suy ra 
Suy ra (c.g.c) suy ra 
Suy ra 
0,25
Có suy ra tam giác BOC vuông cân tại O từ đó tính được (6)
Lại có AH = 2.MO (7)
Từ (5), (6), (7) suy ra 
Suy ra 
0,25
Cách thứ hai:
Xét tam giác BOC có nên tam giác BOC vuông cân tại O suy ra .
Có OA = OB = OC suy ra các tam giác BOC, AOB, AOC cân tại O nên ta có 
0,25
Xét tam giác ABE vuông tại E , suy ra 
tương tự có 
Suy ra (1)
0,25
Lại có (2)
0,25
Từ (1) và (2) suy ra 
Mà AH = 2.OM nên 
0,25
5
(1,0điểm)
(1,0 điểm)
Có 
Chứng minh được với mọi x; y > 0 ta có (*)
0,25
Ta có 
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có:
Lại áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: 
Suy ra (1)
0,25
Chứng minh tương tự có:
 (2); (3)
Cộng từng vế các bđt (1); (2); (3) ta có 
0,25
Dấu đẳng thức xảy ra khi 
Vậy giá trị lớn nhất của M là đạt được khi 
0,25
--------------------------Hết-----------------------------
Kí xác nhận
Người ra đề
 Vũ Văn Thi
Tổ trưởng chuyên môn
 Lê Thị Hòa
TM Ban Giám Hiệu