Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Đề 6 - Phòng GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
T6
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút
(Đề này gồm 5 câu, 1 trang)
Câu 1 (2điểm)
Cho biểu thức M = . Tìm các giá trị nguyên dương của x để M nhận giá trị nguyên.
Cho ba số thực x, y, z đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện
+ + = 0
Chứng minh rằng: = 
Câu 2 (2điểm)
Giải phương trình 2= 5
Giải hệ phương trình 
Câu 3 (2đ)
Anh Nam đi từ A và đã đến B gặp bạn đúng giờ hẹn. Anh nói với bạn rằng: nếu tôi đi với vận tốc ít hơn vận tốc đã đi 16 km/h thì đến B sau giờ hẹn 2 giờ, còn nếu tôi đi với vận tốc nhiều hơn vận tốc đã đi 20 km/h thì đến B trước giờ hẹn 1 giờ. Tính thời gian anh Nam đã đi quãng đường AB và chiều dài quãng đường đó.
Cho và là các số hữu tỉ dương và thoả mãn đẳng thức . 
 Chứng minh rằng là một số hữu tỉ 
Câu 4 (3đ)
4.1) Cho đường tròn (O; R) nội tiếp tam giác ABC (AB< AC). Gọi E, D, F là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, BC, CA. Kẻ đường kính DM của (O) cắt AC tại N. Tiếp tuyến tại M của (O) cắt các cạnh AC tại Q
a) Chứng minh FQ.CN = FC.QN
b) Kẻ DH vuông góc với EF. Chứng minh HD là phân giác của góc BHC
4.2) Cho hình vuông ABCD, các điểm M, N trên BC và CD sao cho 
 = 450. Hãy tìm vị trí của M, N để diện tích tam giác CMN đạt giá trị lớn
 nhất.
Câu 5 (1đ)
Cho các số được xác định theo công thức sau: 
 	 với n = 1, 2, , 2014.
 Chứng minh rằng: S2014 = 
---------------------------- Hết -------------------------------
PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
Mã: T-Trần Văn Chung-BH-TPHD
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 5 trang)
Câu
Ý
Đáp án
Điểm
1
2đ
a)
1đ
-Với x nguyên dương thì là số nguyên dương hoặc số vô tỉ
0,25
- Khi là số nguyên dương, ta có 5 + 23 nguyên
 M = 5 - + 23
có giá trị nguyên thì là các ước dương của 10
 hay x 
0,5
- Khi là số vô tỉ, ta có M = , để M có giá trị nguyên thì nguyên. Hay 5(x - 2) = a (*)
+) Nếu a = 0 thì x = 2, M = 23 thỏa mãn
+) Nếu a 0, từ (*) có vế trái là số vô tỉ, vế phải là số hữu tỉ mâu thuẫn.
- Vậy có 5 giá trị x nguyên dương thỏa mãn yêu cầu là 
0,25
b)
1đ
- Ta có nếu a + b + c = 0 thì (1)
Thật vậy : . . . 
0, 25
- Đặt a =, b = , c = 
Thì a + b + c = 0 (theo gt)
Do đó, áp dụng (1) được
+ + 
= 3(x - y)(y - z)(z - x). (2)
- Biến đổi vế trái của (2) bằng 3(1 - xyz)(x - y)(y - z)(z - x) (3)
Vì x, y, z đôi một khác nhau nên từ (2) và (3) suy ra
 hay
0,25
0,25
0,25
2
2đ
a)
1đ
- Đặt t = x + 1, pt trở thành 2(t2 + 2) = 5
 2(t2 + 2) = 5 (1)
0,25
- Vì t3 + 10 nên t -1
- Đặt a = , b = (với a, b 0) 
Pt (1) trở thành 2(a2 + b2) = 5ab
0,25
+) Với a = 2b ta có: = 2 4t2 - 5t +3 = 0 vô nghiệm
0,25
+) Với b = 2a ta có : = 2 t2 - 5t - 3 = 0
Giải ra ta được t = (t/m)
Từ đó, tìm được x = 
0,25
b)
1đ
Đặt a= ; b = thì hệ đã cho trở thành 
Giải hệ trên 
- Với a = 2 ta có = 2 
Với b = 3 ta có = 3
 y= 1
Vậy hệ có nghiệm ( ; 1)
- Với a = b = , giải ra có x = , y = 
Kết luận: hệ có nghiệm là 
3
2đ
a)
1đ
Gọi vận tốc và thời gian anh Nam đã đi quãng đường AB lần lượt là v (km/h) và t (h), v >0, t >0
Vận tốc và thời gian đi trong trường hợp thứ nhất và trường hợp thứ hai theo thứ tự là v1, v2 (km/h) và t1, t2 (h), v1, v2, t1, t2 > 0
- Ta có : vt = v1t1 = v2t2
 v - v1 = 16, t1 - t = 2
 v2 - v = 20, t - t2 = 1
0,25
Từ vt = v1t1 suy ra vt = v1(t + 2)
Nên vt = v1t + 2v1 do đó 2v1 = (v - v1)t = 16t (1)
Từ vt = v2t2 suy ra vt = v2(t - 1) nên vt = v2t - v2
Do đó v2 = (v2 - v)t = 20t (2)
0,25
Từ (1) và (2) suy ra 2v2 - 2v1 = 40t - 16t v2 - v1 = 12t
Ta lại có : v2 - v1 = (v2 - v) + (v - v1) = 20 + 16 = 36 nên t = 3
0,25
Với t = 3 thì v = vt.
t2 = t - 1 = 3 - 1 = 2 nên v2 = vt. Suy ra : v2 - v =vt
Nghĩa là 20 = vtvt = 120
Vậy anh Nam đi quãng đường AB là 120 km và thời gian đi hết 3 giờ
0,25
b)
1đ
Ta có 
Hay 
 vì x, y dương
Vậy là hữu tỉ
0,25
0,25
0,5
4
3đ
a)
1đ
 Có OQ là phân giác của trong của NOF
 (1)
0,25
Chứng minh được OC là phân giác ngoài NOF
 (2)
0,25
Từ (1) và (2) 
0,25
b)
1đ
Kẻ BI, CK vuông góc EF BI // DH // CK (3)
0,25
Mặt khác BD = BE, CD =CF (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)
Chứng minh được IBE KCF (4)
0,25
Từ (3) và (4) 
Từ đó chứng minh được BIH CKH 
0,25
Lại có 
Vậy HD là phân giác của góc BHC
0,25
c)
1đ
Đặt AB = a. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm E sao cho 
DE = BM. Ta có (c-g-c) AE = AM và . Từ đó 
 = 900 - = 450
Ta có (c-g-c) 
MN = EN = ED + DN = BM + DN = 2a - CM - CN (1)
Mặt khác, từ tam giác vuông CMN ta lại có 
MN = kết hợp (1)
2a = CM+CN+ (2). Áp dụng bđt Côsi cho hai số không âm được 
 CM + CN và
Cả hai dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi CM = CN.
Từ đó (2) CM.CN hay
 SCMN =(3 - )a2
 SCMN đạt GTLN khi và chỉ khi CM = CN, khi đó 
DN = a - CN = a - CM = BM và ta có (c-g-c) hay .
Vậy vị trí của M, N để SAMN đạt GTLN là 
0,25
0,25
0,25
0,25
5
1đ
Ta có =
=< == 
 =
Sn = 1 - == 1- 
0,25
0,25
0,25
Từ đó S2014 = 
0,25
 Mọi cách làm khác mà kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa