Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2009-2010 - Phòng GD&ĐT Huyện (Có đáp án)

 UYỆ 
------------------------ 
 Ă 2009-2010 
Câu 1 Cho biểu thức: 
1 1 1
4
1 1
P
a a
a a
a a a
  
      
 
  
 
. 
a) Rút gọn P. 
b) nh gi t c a P t i   2 3 3 1 2 3a     . 
Câu 2 i i h ng t nh: 2 1 1 1.x x x     
Câu 3 Cho x, y c c ng 
a) Chứng inh: 2
x y
y x
  . 
b) gi t nh nh t c a biểu thức: 
2 2
x y xy
M
y x x y
  

. 
Câu 4 Cho iể M n t n n a ng t n t O ng nh AB 
= 2R (M h ng t ng i A B) ong n a t h ng chứa n a ng t n c 
b ng th ng AB, ti tu n Ax ng th ng BM c t Ax t i I tia h n 
gi c c a IAM c t n a ng t n O t i c t IB t i F; ng th ng BE c t AI 
t i H c t AM t i K. 
a) Chứng inh iể F, E, K, M c ng n t n t ng t n 
b) Chứng inh HF BI . 
c) c nh t c a M t n n a ng t n O ể chu i AMB t gi 
t n nh t t gi t th o R? 
Câu 5 c c t nhi n x, y bi t ng: 
    2 1 2 2 2 3 2 4 5 11879x x x x y      . 
--------------------- t --------------------- 
* 
 9 
CÂU U 
1 
a 
 i u i n 
0
0
1
1
0
a
a
a
a
a

 
  


0.25 
     
2 2
1 1 4 1 1
.
1
a a a a a
P
a a
     


0.25 
 4 4 1 4 (1 1)
4
a a a a a
a
a a
   
   
0.25 
 4P a 0.25 
b 
     2 3 2 3 2 3 . 3 1a      0.25 
         
2
2 3 . 3 1 2 3 3 1 2 3 4 2 3         0.25 
  2 2 3 2 3 2    . 0.25 
 2a  o 4 4 2P a  0.25 
2 
 i u i n 1x  0.25 
 
2
2 1 1 1 1 1 1 1x x x x x           
1 1 1 1x x      (1) 
0.5 
Khi 1 1 1 1 2x x x       : a c 
(1) 1 1 1 1x x      h ng t nh nghi 
0.25 
Khi 0 1 1 0 1 1 1 2x x x          : a c 
 1  (1) 1 1 1 1 2 1 0 1x x x x           
0.25 
 1x  nghi c a h ng t nh cho 0.25 
3 a 
 x > 0, y > 0 nên 0
x
y
 0
y
x
 
0.25 
 ng b t ng thức 2a b ab  u a a b  
ta c 2 . 2
x y x y
y x y x
   
0.25 
0.25 
 2
x y
y x
  . 
0.25 
 u a 2 2
x y
x y x y
y x
      x > 0, y > 0) 
0.25 
b 
 t 
x y
a
y x
  ta c 
1 3 1
4 4
a a
M a
a a
     
0.25 
 2
x y
a
y x
   nên 
3 3
4 2
a
 ; 
0.25 
 a c 
1 1 1
2 . 2. 1
4 4 2
a a
a a
    
0.25 
 o 
1 3 1 3 5
1
4 4 2 2
a a
M a
a a
        ; 
5
2
2
M a x y     0.25 
 gi t nh nh t c a M b ng 
5
2
 hi ch hi x y . 0.25 
 nh 
 x 
 I 
 F 
 M 
 H E 
 K 
 A O B 
a 
 a c n t n n a ng t n ng nh n n 
090FMK  090FEK  . 
0.5 
 iể F, E, K, M c ng n t n ng t n ng nh 0.25 
b 
 a c HAK c n t i A nên AH = AK (1) 0.25 
K t c t c a AFB n n ta c FK AB suy ra FK // AH (2) 0.25 
 o FAH AFK FAH FAK (gt) cho nên AFK FAK 0.25 
Suy ra AK = KF t h i ) ta c AH = KF (3) 0.25 
 ) ) ta c AKFH h nh b nh h nh n n HF // AK. 
AK IB suy ra HF IB . 
0.25 
c 
Chu i c a AMBAMB C MA MB AB     n nh t hi ch hi 
MA + MB n nh t h ng i) 
0.25 
 ng b t ng thức    
2 2 22a b a b   u a 
a b  ta c  
2 2 2 22( ) 2MA MB MA MB AB    
0.25 
Nên MA + MB t gi t n nh t b ng 2AB hi ch hi 
MA = MB hay M n ch nh gi a cung AB. 
0.25 
 hi M n ch nh gi a cung AB th 
AMBC t gi t n nh t 
 hi 
 2 (1 2) 2 (1 2)AMBC MA MB AB AB AB AB R          
0.25 
5 
 t     2 1 2 2 2 3 2 4x x x xA     ta c 2 .x A t ch c a 
t nhi n i n ti n n 2 .x Achia h t cho h ng 2x h ng chia h t 
cho o chia h t cho 
0.25 
 u 1y  ta c     2 1 2 2 2 3 2 4 5x x x x y     chia h t cho 
 h ng chia h t cho n n 1y  h ng th a n u a 
y = 0. 
0.25 
 hi , ta c     2 1 2 2 2 3 2 4 5 11879x x x x y      
    2 1 2 2 2 3 2 4 1 11879x x x x       
    2 1 2 2 2 3 2 4 11880x x x x      
0.25 
    2 1 2 2 2 3 2 4 9.10.11.12 3x x x x x        . 
 3; 0x y  hai gi t c n t 
0.25