Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax2 a  0và đường

thẳng (d): y = bx + 1

1/ Tìm các giá trị của a và b để (P) và (d) cùng đi qua điểm M(1; 2)

M (P)   a = 2  y = 2x2

M  (d)   b = 1  y = x + 1

2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh rằng (P) và (d) còn có một điểm chung

N khác M. Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ)

pdf4 trang | Chia sẻ: Đạt Toàn | Ngày: 26/04/2023 | Lượt xem: 331 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem nội dung Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án), để tải tài liệu về máy bạn hãy click vào nút TẢI VỀ
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI 
 THANH HOÁ NĂM HỌC 2012 - 2013 
 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi : TOÁN 
(Đề gồm có 1 trang) 
 Thời gian làm bài :150 phút 
Câu 1: (2.0 điểm ) 
Cho biểu thức :
2 3 2
: 2
5 6 2 3 1
x x x x
A
x x x x x
     
                
1/ Rút gọn biểu thức A. 
2/ Tìm các giá trị của x để 
1 5
2A
  
Câu 2 (2,0 điểm ) 
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax2  0a  và đường 
thẳng (d): 
 y = bx + 1 
1/ Tìm các giá trị của a và b để (P) và (d) cùng đi qua điểm M(1; 2) 
2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh rằng (P) và (d) còn có một điểm chung 
N khác M. Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ) 
Câu 3 (2.0 điểm) 
1/ Cho phương trình: 
2 2(2 1) 6 0x m x m m      (m là tham số). Tìm m để 
phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 
2/ Giải hệ phương trình: 
1 1 2
1 1
1
x y
x y
    


 

Câu 4 (3.0 điểm) : Cho A là điểm cố định nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ tiếp 
tuyến AP và AQ tới đường tròn (P và Q là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua O và 
vuông góc với OP cắt đường thẳng OQ tại M. 
1/ Chứng minh rằng: MO = MA 
2/ Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến với (O) 
tại N cắt các tia AP, AQ lần lượt tại B và C. Chứng minh rằng: 
a) AB AC BC  không phụ thuộc vào vị trí của điểm N. 
b) Nếu tứ giác BCQP nội tiếp được trong một đường tròn thì PQ//BC 
Câu 5 (1.0 điểm) 
 Cho x, y là các số thực dương thoả mãn : 
1 2
2
x y
  . Chứng minh rằng : 
2 25 4 3x y xy y    
---------- Hết ---------- 
Họ tên thí sinh .. Số báo danh:  
Chữ ký giám thị 1:  Chữ ký giám thị 2:  
Bài giải 
Câu 1: (2.0 điểm ) 
Cho biểu thức :
2 3 2
: 2
5 6 2 3 1
x x x x
A
x x x x x
     
                
1/ Rút gọn biểu thức A. 
2 3 2
: 2
5 6 2 3 1
x x x x
A
x x x x x
     
                
 (ĐK: x  0, x  4, x  9 ) 
A =  = 
1
4
x
x


2/ Tìm các giá trị của x để 
1 5
2A
  
1 5 4 5
2 8 5 5
2 21
1 1
2 5 3 0 3 0
2 2
1
0
4
x
x x
A x
x x x x
x

         

          
  
Kết hợp với ĐK  
1
0
4
x  
Câu 2 (2,0 điểm ) 
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax2  0a  và đường 
thẳng (d): y = bx + 1 
1/ Tìm các giá trị của a và b để (P) và (d) cùng đi qua điểm M(1; 2) 
M (P)    a = 2  y = 2x2 
M  (d)    b = 1  y = x + 1 
2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh rằng (P) và (d) còn có một điểm chung 
N khác M. Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ) 
Xét pt hoành độ gđ: 2x2 = x + 1  2x2 - x - 1 = 0 
 
1 2
1 1
1;2 ; ;1 1
2 2
2 2
x y
M N
x y
  
          

 1 2 ... 0,75 (dvv)MON thangS S S S      
Câu 3 (2.0 điểm) 
1/ Cho phương trình: 
2 2(2 1) 6 0x m x m m      (m là tham số). Tìm m để 
phương trình có hai nghiệm dương phân biệt? 
phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 

2
325 00
2
. 0 6 0 2
1
2 1 0
0 2
m
m
a c m m m
b m m
a

                 
        

2/ Giải hệ phương trình: 
1 1 2 (1)
1 1
1 (2)
x y
x y
    


 

 (ĐK: x  1; y  1) 
(2)  x + y = xy (3) 
Hai vế của (1) đều dương ta bình phương hai vế ta có: 
  
 
2 2 1 1 4
2 2 1 4
x y x y
x y xy x y
     
       
Thay (3) vào ta có: x + y = 4 kết hợp với (3) có hệ: 
x+y=4
xy=4



Áp dụng hệ thức Vi Ét ta có x; y là hai nghiệm của pt: X2 - 4x + 4 = 0 
 x = 2; y = 2 
Câu 4 (3.0 điểm) : Cho A là điểm cố định nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ tiếp 
tuyến AP và AQ tới đường tròn (P và Q là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua O và 
vuông góc với OP cắt đường thẳng OQ tại M. 
1/ Chứng minh rằng: MO = MA 
A1 = O1 và A1 = A2  A2 = O1
  MAO cân  MO = MA 
2/ Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến với (O) 
tại N cắt các tia AP, AQ lần lượt tại B và C. Chứng minh rằng: 
a) AB AC BC  không phụ thuộc vào vị trí của điểm N. 
Theo t/c hai tia tiếp tuyến ta có   AB + AC - BC =  = 2.AP (không đổi) 
b) Nếu tứ giác BCQP nội tiếp được trong một đường tròn thì PQ//BC 
Nếu tứ giác BCQP nội tiếp được  P1 = C1 
1
1
1
2
1
1
C
B
M
P
O
Q
A
N
 mà P1 = Q1  C1 = Q1  PQ//BC 
Câu 5 (1.0 điểm) 
 Cho x, y là các số thực dương thoả mãn : 
1 2
2
x y
  . Chứng minh rằng : 
2 25 4 3x y xy y    
* Ta có: 
 
2 2
2 2 2
2 2
 5 4 3
4 4 3 0
2 3 0
x y xy y
x xy y x y
x y x y
   
      
     
* 
1 2 2 1 2 2 1 2
2 2
2 1
x x
y
x y y x y x x

        

Vì : y > 0 ; x > 0  2x - 1 > 0  x > 1/2 Thay 
2
2 1


x
y
x
 vào 
2 3 0x y   
Ta có: 
3 2
2 2 2 2 2 6 33 0 3 0 0
2 1 2 1
x x x x x
x y x
x x
   
        
 
 (1) 
Vì 2x - 1 > 0  (1)  
3 2 3 22 2 6 3 0 2 4 3 0x x x x x x x          
 Mà 
3 22 4 3x x x   
   
3 2 2
2
2 2 3 3
1 2 3
x x x x x
x x x
     
    
   
2
1 2 3 0 0x x x      
Vậy  
2 22 3 0 0; 0x y x y x y        

File đính kèm:

  • pdfde_thi_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_9_nam_hoc_2012_2013_so_gia.pdf
Bài giảng liên quan