Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Thanh Hóa (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ 
THANH HÓA 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016 
MÔN: TOÁN LỚP 9 
Thời gian làm bài: 150 phút 
Bài 1: (4,0 điểm) 
Cho P = 
23
22


xxx
xxxx
 + 
23
22


xxx
xxxx
1. Rút gọn P. Với giá trị nào của x thì P > 1 
2. Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất 
Bài 2: (4,0 điểm) 
1. Giải phương trình 
xx
xx
233
135


 = 4 
2. Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2 + xy + y2 = x2y2 
Bài 3: (4,0 điểm) 
1. Cho a = x + 
x
1
b = y + 
y
1
c = xy + 
xy
1
Tính giá trị biểu thức: A = a2 + b2 + c2 – abc 
2. Chứng minh rằng với mọi x > 1 ta luôn có. 3(x2 - 
2
1
x
) < 2(x
3
 - 
3
1
x
) 
Bài 4: (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có AD = BC; AB < CD. Gọi I, Q, H, P lần 
lượt là trung điểm của AB, AC, CD, BD 
1. Chứng minh IPHQ là hình thoi và PQ tạo với AD, BC hai góc bằng nhau. 
2. Về phía ngoài tứ giác ABCD, dựng hai tam giác bằng nhau ADE và BCF. 
Chứng minh rằng trung điểm các đoạn thẳng AB, CD, EF cùng thuộc một đường 
thẳng. 
Bài 5: (2,0 điểm) Tam giác ABC có BC = 40cm, phân giác AD dài 45cm đường 
cao AH dài 36cm. Tính độ dài BD, DC. 
Bài 6: (2,0 điểm) Với a, b là các số thực thỏa mãn đẳng thức (1 + a)(1 + b) = 
4
9
. 
Hãy tìm GTNN của P = 41 a + 41 b 
 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9 
Bài Câu Tóm tắt cách giải Điểm 
1 
1 
Điều kiện x > 0; x  1; 4 
P = 
2)1)(2(
)1)(1)(2(


xx
xxx
 + 
2)1)(2(
)1)(1)(2(


xx
xxx
= 
1
1


x
x
 + 
1
1


x
x
= 
1
)1(2


x
x
P > 1
1
)1(2


x
x
> 1
1
)1(2


x
x
- 1 > 0
1
122


x
xx
 > 0 

1
3


x
x
 > 0 Theo đ/k x > 0 x + 3 > 0 
 x – 1 > 0  x > 1 
Kết hợp điều kiện x > 0; x  1; 4 
Suy ra x > 1; x  4 thì P > 1 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
2 
P = 
1
)1(2


x
x
 = 2 + 
1
4
x
 Với x > 0; x 1; 4 
P nguyên  x – 1 là ước của 4 
P đạt giá trị nguyên lớn nhất  x – 1 = 1  x = 2 
Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi x = 2 
0,5 
0,5 
0,5 
2 
1 
Điều kiện x – 3 + x23  0 
Phương trình tương đương 
53 x - 1x - 4 32 x - 4x + 12 = 0 (*) 
Xét x < -
2
3
Thì (*) - 3x + 5 + ( x – 1) + 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0 
 2x = -28 
 x = - 14 (Thỏa mãn đk) 
0,25 
0,5 
0,25 
Xét -
2
3
≤ x < 1 Thì (*) 
 - 3x + 5 + x – 1 – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0 
 x = 
7
2
 (Thỏa mãn đk) 
Xét 1 ≤ x < 
3
5
 Thì (*) 
 - 3x + 5 – (x -1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0 
 x = 
8
3
 (loại) 
Xét x ≥ 
3
5
 Thì (*) 3x – 5 – (x – 1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0 
 x = -
5
2
 (Loại) 
Vậy phương trình có nghiệm x







7
2
;14 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
2 
Ta có x
2
 + xy + y
2
 = x
2
y
2
 (x + y)
2
 = xy(xy + 1) 
+ Nếu x + y = 0  xy(xy + 1) = 0 




1
0
xy
xy
Với xy = 0. Kết hợp với x + y = 0  x = y = 0 
Với xy = -1. Kết hợp với x + y = 0  





1
1
y
x
 hoặc 





1
1
y
x
+ Nếu x + y 0  (x + y)2 là số chính phương 
xy(xy + 1) là hai số nguyên liên tiếp khác 0 nên chúng nguyên tố 
cùng nhau. Do đó không thể cùng là số chính phương 
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là (x; y) = (0; 0); (1; -1); (-
1; 1) 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
a
2
 = x
2
 + 
2
1
x
+ 2 
3 
1 
b
2
 = y
2
 + 
2
1
y
+ 2 
c
2
 = x
2
y
2
 + 
22
1
yx
 + 2 
ab = (x + 
x
1
)(y + 
y
1
) = xy + 
xy
1
 + 
y
x
 + 
x
y
 = c + 
y
x
 + 
x
y
 abc = (c + 
y
x
 + 
x
y
).c 
= c
2
 + c(
y
x
 + 
x
y
) 
= c
2
 + (xy + 
xy
1
)(
y
x
 + 
x
y
) 
= c
2
 + x
2
 + y
2
 + 
2
1
y
 + 
2
1
x
= a
2
 – 2 + b2 – 2 + c2 
A = a
2
 + b
2
 + c
2
 – abc = 4 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
2 
3(x
2
 - 
2
1
x
) < 2(x
3
 - 
3
1
x
) 
 3(x - 
x
1
)(x + 
x
1
) < 2(x - 
x
1
)(x
2
 + 
2
1
x
+ 1) 
 3(x + 
x
1
) < 2(x
2
 + 
2
1
x
+ 1) (1) 
( Vì x > 1 nên x - 
x
1
 > 0) 
Đặt x + 
x
1
= t thì x
2
 + 
2
1
x
 = t
2
 – 2 
Ta có (1)  2t
2
 – 3t – 2 > 0 
  (t – 2)(2t + 1) > 0 (2) 
Vì x > 1 nên (x – 1)2 > 0 x2 + 1 > 2x  x + 
x
1
> 2 hay t > 2 
 (2) đúng. Suy ra điều phải chứng minh 
0,5 
1,0 
0,5 
4 
1 
IP = HQ; IP//HQ (Tính chất đường trung bình) và AD = BC (GT) 
 IPHQ là h.b.h 
Có IP = IQ = 
2
1
AD = 
2
1
BC nên IPHQ là hình thoi 
Gọi P 1 ; Q 1 là giao điểm của PQ với AD và BC 
Nhận thấy ∆ HPQ cân đỉnh H 
 HPQ = HQP (Góc ở đáy tam giác cân) (1) 
Mà PH // BCBQ 1 P = HPQ (So le trong) (2) 
QH // ADAP 1 P = HQP (So le trong) (3) 
Từ (1); (2); (3) Suy ra AP 1 P = BQ 1 P ( đpcm) 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
2 
Gọi K, M, N lần lượt là trung điểm của EF, DF, CE 
Từ giả thiết ∆ ADE = ∆ BCF và dựa vào tính chất của đường 
trung bình trong tam giác ta có ∆ HMP = ∆ HNQ (c.c.c) 
Suy ra MHP = NHQ  MHQ = NHP  MHN và PHQ có cùng 
0,5 
tia phân giác 
Mặt khác dễ có IPHQ và KMHN là các hình thoi. 
Suy ra HK và HI lần lượt là phân giác của MHN và PHQ. Suy ra 
H, I, K thẳng hàng 
0,5 
0,5 
0,5 
5 
Đặt BD = x, DC = y. Giả sử x < y. Pitago trong tam giác vuông 
AHD ta tính được HD = 27cm. Vẽ tia phân giác của góc ngoài tại 
A, cắt BC ở E. Ta có AE AD nên AD2 = DE.DH. Suy ra 
DE = 
DH
AD 2
 = 
27
452
 = 75cm 
Theo tính chất đường phân giác trong và ngoài của tam giác 
DC
DB
 = 
EC
EB
  
y
x
 = 
y
x


75
75
 (1) 
Mặt khác x + y = 40 (2) 
Thay y = 40 – x vào (1) và rút gọn được 
x
2
 – 115x + 1500 = 0  (x – 15)(x – 100) = 0 
Do x < 40 nên x = 15, từ đó y = 25. 
Vậy DB = 15cm, DC = 25cm 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
6 
 Áp dụng Bunhiacopski cho hai dãy a2; 1 và 1; 4 ta có 
(1
2
 + 4
2
)(a
4
 + 1) ≥ (a2 + 4)2 
 41 a ≥ 
17
42 a
 (1) 
0,5 
Dấu “=” xảy ra  a = 
2
1
Áp dụng Bunhiacopski cho b2; 1 và 1; 4 ta có 
17(b
4
 + 1) ≥ (b2 + 4)2  14 b ≥ 
17
42 b
 (2) 
Dấu “=” xảy ra  b = 
2
1
Từ (1) và (2)  P ≥ 
17
822  ba
 ( ) 
Mặt khác theo giả thiết (1 + a)(1 + b) = 
4
9
  a + b + ab = 
4
5
Áp dụng Côsi ta có: 
a  a
2
 + 
4
1
b b
2
 + 
4
1
ab  
2
22 ba 
Cộng từng vế ba bất đẳng thức ta được 
)(
2
3 22 ba  + 
2
1
 ≥ a + b + ab = 
4
5
 a
2
 + b
2
 ≥ (
4
5
- 
2
1
): 
2
3
 = 
2
1
 Thay vào ( ) 
P ≥ 
17
8
2
1

 = 
2
17
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 
2
17
 khi a = b = 
2
1
0,5 
0,5 
0,5 
Lưu ý: - Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tương đương 
- Bài hình không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai không cho điểm