Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Ngày 30-11-2007 - Năm học 2007-2008 - Phòng Giáo dục & Đào tạo Hải Dương (Có đáp án)

Phòng Giáo dục - Đào tạo 	đề thi học sinh giỏi * năm học 2007-2008
	TP Hải Dương	 	 Môn: Toán 9
 Ngày 30/11/2007 - Thời gian: 150 phút
Bài 1: (2đ)
	a, Giải phương trình 
	b, Cho 
	Tính x+y.
Bài 2: (2đ) 
a, Cho a, b là 2 số dương thoả mãn 
	Chứng minh 
b, Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 3: (1,5đ) 
	Giả sử a, b, c là các số nguyên khác 0 và a + b + c = 2007
	Tìm quan hệ giữa các số x, y, z nếu có 
Bài 4: (3đ) 
	Cho hình vuông ABCD có cạnh là 1. Trên cạnh AB và AD lấy hai điểm M và N sao cho chu vi DAMN bằng 2.
	a, Tính góc MCN.
	b, Chứng minh rằng hai tia CM, CN chia đường chéo BD thành 3 đoạn thẳng mà 3 đoạn này là 3 cạnh của một tam giác vuông có diện tích không lớn hơn .
Bài 5: (1,5đ) 
	Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh: .
----------------------------hết--------------------------
Phòng Giáo dục - Đào tạo 	đề thi học sinh giỏi * năm học 2007-2008
	TP Hải Dương	 	Đáp án môn: Toán 9
Bài 1: (2đ)
	a, (1đ) Giải phương trình:
	Có 	0,25
	 	0,25
	=> 	0,25
	Vế trái có giá trị là ú (x-2)2 = 0 ú x=2	
	Vậy S = {2}	0,25
	b, (1đ) Có 	0,25
	 mà 
	=> 	(1)	0,25
	Tương tự (2)	0,25
	Cộng 2 vế của (1) và (2) => x + y = 0	0,25
Bài 2: (2đ)
	a, (1đ) 	a, b > 0; => a >1 ; b >1	0,25
	 => ab – a – b = 0 => (a-1)(b-1) = 1	0,25
	=> 	=> 	0,25
	=> a + b = a + b + 
	 = (a-1) + (b-1) + 
	=> a + b = 	
	=> 	0,25
	b, (1đ) Điều kiện: |x| Ê 1
	Xét |A| = |x| = 	0,25
	Chứng minh bất đẳng thức với a, b ≥ 0
	=> 
	=> 	|A| Ê 	=> 	0,5
	Vậy 	
	0,25
Bài 3: (1,5đ) 
	Giả sử x ≥ y ≥ z
	=> 	0,25
	 = 	(1)	0,5
	Lại có 	(2)	0,25
	Từ (1) và (2) => 
	Mà 2c là số chẵn => 2c ≠ 2007	0,25
	=> x –z = 0	=> x = z
	=> x = y = z	0,25
Bài 4: (3đ) 
A
B
D
C
N
M
I
F
E
H
A
B
D
C
N
M
I
F
E
H
	a, (1đ) Trên tia đối của tia DA lấy I sao cho DI=BM
=> DCBM = DCDI (c-g-c) => CM = CI => MCB = ICD =>MCI = 90O	0,25
	NI = ND + DI = ND + BM = (AD - AN) + (AB - AM)
	 = (AD + AB) - (AM + AN) = 2 - (2 - MN) = MN	0,5
	=> DMCN = DICN (c-c-c)
	=> 	0,25
	b, (2đ) Lấy điểm H trên tia NM sao cho NH = ND
	=> DNHC = DNDC (c-g-c) => NHC = 90O
	Mà MH = MN - HN = NI - ND = DI
	=> MH = DI = BM	0,5
	=> CM là đường trung trực của BH
	=> EHF = EHC + FHC = EBC + FDC = 45O + 45O = 90O
	=> DEHF vuông tại H.
	=> 3 đoạn BE; EF; FD là độ dài 3 cạnh của D vuông HEF	0,5
	Đặt HE = x ; HF = y ; S(HEF)=S
	=> 
	Có 	
	0,5
	=> 
	=> 
	=> 	0,5
Bài 5: (1,5đ) 
	Có a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca = 	0,5
	Lại có: 	
	0,5
	Cộng vế với vế 	=> 
	=> 	0,5
----------------------------hết--------------------------