Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 THCS - Đề 1 - Phòng GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT TP HẢI DƯƠNG
T1
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút (không kể giao đề)
(Đề gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm)
 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
 b) Rút gọn biểu thức :
Câu 2 (2,0 điểm)
 a) Giải phương trình :
 b) Giải hệ phương trình :
Câu 3 (2,0 điểm)
 a) Đa thức f(x) khi chia cho x + 1 dư 4 khi chia x2 + 1 dư 2x + 3. Tìm đa thức dư khi chia f(x) cho .
 b) Giải phương trình nghiệm nguyên dương : .
Câu 4 (3,0 điểm)
 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) và trực tâm là H. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC.
 a) Xác định vị trí của điểm M sao cho tứ giác BHCM là hình bình hành.
 b) Với M lấy bất kì thuộc cung nhỏ BC; gọi N, E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC. Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp và chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng.
 c) Xác định vị trí của điểm M thuộc cung nhỏ BC để cho NE có độ dài lớn nhất.
Câu 5 (1,0 điểm)
 Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh bất đẳng thức :
-------------- Hết --------------
PHÒNG GD&ĐT TP HẢI DƯƠNG
MÃ: T-Đinh Văn Đông-NGT-TPHD
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG LỚP 9 THCS
MÔN : TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
Câu 1
a) (1,0đ)
0,25
0,25
0,25
0,25
b) (1,0đ)
Với . Ta có 
Và 
Do đó (với ).
0,5
0,25
0,25
Câu 2
a) (1,0đ)
ĐK: . Với điều kiện biến đổi phương trình đã cho trở thành: 
Chia cả hai vế của phương trình cho , ta được
 (1)
Đặt 
Thay vào (1) ta được hoặc (t/m)
+ với ta có (t/m).
+ với ta có (vô nghiệm).
KL:
0,25
0,25
0,25
0,25
b) (1,0đ)
Điều kiện : . Khi đó : 
Thay (1) vào (2) được 
Thay x = y vào (2) ta được : 
Thử lại : +) Với x = y = 0 thay vào (1) không thoả mãn.
+) Với x = y = 1 thay vào (1) thoả mãn.
+) Với x = y = -1 thay vào (1) thoả mãn.
Vậy nghiệm của hệ phương trình: (x; y) = (1; 1),(-1; -1).
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 3
a) (1,0đ)
.
 Mặt khác 
 mọi x 
Kết hợp với (*) ta được 
Vậy đa thức dư là .
0,25
0,25
0,25
0,25
b) (1,0đ)
Vì x, y nguyên dương nên : 
Ta có  
Mặt khác (x + y) là ước của 40y + 1, mà 40y + 1 không chia hết cho 2 và 4 nên .
Tìm được 
Vậy 
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 4
a (1,0đ)
a) Xác định vị trí của điểm M sao cho tứ giác BHCM là hình bình hành.
Ta có: BH AC; CH AB (vì H là trực tâm tam giác ABC)
 Tứ giác BHCM là hình bình hành 
 BH // MC và CH // MB 
 AC MC và AB MB
 AM là đường kính của (O) 
 M là điểm đối xứng của A qua O.
0,25
0,25
0,25
0,25
b (1,0đ)
* Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp.
Ta có: (T/c đối xứng trục) 
 (góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
 , mà 
Do đó: Tứ giác NAHB nội tiếp.
* Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng.
Tứ giác NAHB nội tiếp , mà (T/c đối xứng trục).
Chứng minh tương tự, ta cũng có:
Ta có: 
Do đó: = N, H, E thẳng hàng.
0,25
0,25
0,25
0,25
c (1,0đ)
Xác định vị trí của điểm M thuộc cung nhỏ BC để cho NE có độ dài lớn nhất.
Ta có: . Kẻ AK NE tại K
Ta có: AM = AN; AM = AE (Tính chất đối xứng trục)
 AE = AN ANE cân. Mà: AK là đường cao
 AK là trung tuyến, là phân giác 
Do đó: 
Tam giác KAN vuông tại K NK = AN.sin
Do đó: NE = 2AN. sin = 2AM.sin(vì AM : không đổi)
Do đó: NE lớn nhất AM lớn nhất
 AM là đường kính của đường tròn (O)
 M đối xứng với A qua O
Vậy khi M là điểm đối xứng của A qua O thì NE lớn nhất.
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 5
(1,0đ)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si : và 
Do đó 
Tương tự : 
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được :
Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Cô-si:
Do đó 
Đẳng thức xảy ra 
0,25
0,25
0,25
0,25