Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Vòng 1 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT TP HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9-VÒNG 1
NĂM HỌC 2016 – 2017
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm):
Cho biểu thức: với a > 0 và a1
Rút gọn M và chứng minh M > 4
Tìm giá trị của a để biểu thức P = nhận giá trị nguyên.
Cho hàm số: 
 Tính tại 
Câu 2 (2,0 điểm): Giải các phương trình sau:
Câu 3 (2,0 điểm):
Tìm các số nguyên dương x; y; z thỏa mãn:
 8x + 9y + 10z = 100 và x + y + z > 11
Tìm số nguyên x lớn nhất thỏa mãn 
Câu 4 (3,0 điểm):
Cho đường tròn (O; R) và một đường thẳng d cố định không có điểm chung với đường tròn.Trên d lấy một điểm M bất kỳ. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AC của (O), tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt AB tại E.
Chứng minh rằng MB.BE = BC.BO
Chứng minh CM vuông góc với OE
Xác định vị trí của điểm M để dây AB ngắn nhất.
Câu 5 (1,0 điểm):
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 với 
Ghi chú: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
------------Hết----------
Giám thị 1 :..........................................Giám thị 2 :...........................................................
Họ và tên thí sinh :..............................................Số báo danh :.............Phòng thi :..........
PHÒNG GD&ĐT TP HẢI DƯƠNG
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9-VÒNG 1
NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm  gồm 5 .trang)
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
(2 điểm)
1a. (0,75 điểm) với a > 0 và a1
KL: Với a > 0 và a1 thì 
+) (0,25 điểm) Chứng minh M > 4
Điều này luôn đúng với mọi a > 0; a1 (đpcm)
0,25
0,25
0,25
1.b) (0,5 điểm)Vì M > 0 và M < 4 mà 
Do P nguyên nên P = 1.
P = 1 
Tìm được ( Thỏa mãn điều kiện).
Vậy P nguyên khi và chỉ khi 
0,25
0,25
(0,75 điểm)
0,25
0,25
0,25
Câu 2
(2,0 điểm)
(1,0 điểm) 
Đặt 
 Phương trình trở thành:
(y – 1)(y +1) = 24
Giải ra có y = 5; -5
Xét y = 5 ta được x = 0; -5
Xét y = -5 ta có 
Phương trình này vô nghiệm.
Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm 0; -5
0,25
0,25
0,25
0,25
( 1,0 điểm)
ĐK: 
Áp dụng BĐT Cosi cho các số không âm, ta có:
Từ đó ta có 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Từ đó tính được x = ( Thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy phương trình có nghiệm 
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 3 
(2,0 điểm)
3.1) (1 điểm) Vì x; y; z là các số nguyên dương 
và 100 = 8x + 9y + 10z > 8x + 8y + 8z = 8(x +y +z)
Lại có x + y + z > 11 và x + y + z là các số nguyên dương nên x + y + z = 12
Xét hệ: 
Từ y + 2z = 4 nên z = 1( vì y, z nguyên dương)
Khi z = 1 thì y = 2 và x = 9 ( thỏa mãn)
(1điểm) 
Đặt 
Ta có 0 < b < 1 
Mà nên 103681< a8 <103682
Nên số nguyên lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là 103681
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,,25
0,25
0,25
Câu 4 
(3,0 điểm)
0,25
4.1) (1,0 điểm)
Chứng minh OM vuông góc với AB.
Vì góc ABC = 900 suy ra góc CBE = 900 
Có BC // OM ( 2 góc đồng vị)
 (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)
(ĐPCM)
4.2 (0,75 điểm): Gọi D ; I là giao điểm của MC với OB và OE
Có nên từ (1) ta có:
4.3 (1điểm): Kẻ OH vuông góc với d tại H; gọi AB cắt OM và OH tại Q và P.
Chứng minh 
Do OH cố định và R không đổi suy ra P cố định.
Kẻ dây A’B’ vuông góc với OP tại P suy ra dây A’B’ cố định.
Có OQ ( quan hệ đường vuông góc, đường xiên)
Suy ra AB cố định.
KL: Dây AB ngắn nhất bằng A’B’ khi M trùng H hay M là hình chiếu của O trên d (đpcm)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 5 
(1,0 điểm)
Áp dụng BĐT Cô si cho từng cặp số dương, ta có:
Cộng theo vế của 2016 BĐT trên, ta được:
Từ đó suy ra 
 B 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
 Vậy GTNN của B là khi và chỉ khi .
0,25
0,25
0,25
0,25
Chú ý: Nếu học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
-----------Hết-----------