Đề thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội (vòng 1) năm 2010 môn Toán

Đề thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội (vòng 1) năm 2010
Bài I (6 đ)
Giải hệ phương trình 
Tìm tất cả giá trị của tham số để hệ bất phương trình sau có nghiệm 
Bài II (4 đ)
Cho có là độ dài các cạnh, là các đường cao tương ứng và là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng minh rằng 
Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau mà trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số thuộc hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm lớn hơn tổng của 3 chữ số còn lại là 3 đơn vị.
Bài III (4 đ)
Chứng minh rằng có duy nhất một điểm thuộc đồ thị của hàm số mà qua điểm đó chỉ kẻ được một tiếp tuyến tới 
Tìm tất cả các giá trị của sao cho ứng với các giá trị đó hàm số sau đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 
Bài IV (2 đ)
Cho dãy số với . Dãy được cho bởi . Tìm 
Bài V (4 đ)
Trong mặt phẳng cho đoạn thẳng . Gọi là trung điểm và là điểm tùy ý trên đoạn . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ của , dựng các hình vuông . Điểm thuộc đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tại .
Xác định vị trí của điểm để tổng thể tích của 2 khối chóp và đạt giá trị nhỏ nhất.
Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm . Điểm là hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng . Tìm quỹ tích của khi di chuyển trên đoạn 
HẾT