Đề thi Học sinh giỏi tỉnh Quảng Ninh 2011-2012 Môn: Toán

Đề thi Học sinh giỏi tỉnh Quảng Ninh 2011-2012
Môn: TOÁN
www.vnmath.com
Câu I
1. Tìm trên đồ thị (C) của hàm số: y = 1−x
x−2 hai điểm A và B sao cho độ
dài đoạn thẳng AB = 2
√
6 và đường thẳng AB vuông góc với đường
thẳng y = x.
2. Tìm các nghiệm thực của hệ phương trình:
√
3x+ y +
√
x+ y = 2
√
x+ y + x− y = 1.
Câu II
Tam giác ABC vuông ở A, có ÂBC = α. Tính tỉ số của bán kính đường tròn
ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC theo α. Xác định α để tỉ số
đó đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu III
Cho hình vuông ABCD cạnh a, các nửa đường thẳng Bm,Dn vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) và ở cùng một phía với mặt phẳng ấy. Lấy điểm M
thuộc Bm và điểm N thuộc Dn. Đặt BM = x,DN = y.
1. Tìm hệ thức giữa x, y để hai mặt phẳng (ACM) và (ACN) vuông góc
với nhau.
2. Chứng minh rằng khi x, y thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện nêu
ở phần a, đoạn vuông góc chung của ACvà MN có độ dài không đổi.
Câu IV
Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho trong khai triển của nhị thức
Newton (1 + x)n có hai số hạng liên tiếp mà tỉ số các hệ số của nó bằng 7
15
.
Câu V
Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 2
√
xy +
√
xz = 1. Chứng
minh rằng: 3yz
x
+ 4zx
y
+ 5xy
z
≥ 4. Khi nào dấu bằng xảy ra?
1
www.VNMATH.com