Đề thi học sinh giỏi văn hóa môn Toán Lớp 9 - Năm học 2008-2009 - Phòng GD&ĐT Cam Lộ (Có đáp án)

PHÒNG GD-ĐT CAM LỘ 
KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA NĂM HỌC 2008-2009 
ĐỀ THI MÔN: TOÁN 
Thời gian làm bài: 120 phút 
Câu 1:(1 điểm) 
 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x +2009 2x +2008 x +2009 
Câu 2:(1 điểm) 
 Giải phương trình sau: 
13
2x
+
15
452 x
=
37
83 x
+
9
694 x
Câu 3: (2 điểm) 
 a/ Chứng minh rằng 
2
44 ba  2233 babaab  
 b/ Cho hai số dương a,b và a=5-b. 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng P=
ba
11
 
Câu 4:(2 điểm) 
a/ Cho a và b là hai số thực dương thõa mãn điều kiện : 
 200820082007200720062006 bababa  
 Hãy tính tổng: S= 20092009 ba  
 b/ Chứng minh rằng :A=
26
4813532


 là số nguyên 
Câu 5: (1 điểm) Tìm các số nguyên dương x,y thõa mãn phương trình sau: 
 xy-2x-3y+1=0 
Câu 6: (3điểm) 
Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC>AB ,đường cao AH (H thuộc 
BC).Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD=HA.Đường vuông góc với với BC tại D 
cắt AC tại E. 
 a)Chứng minh hai tam giác BEC và ADC đồng dạng 
 b)Chứng minh tam giác ABE cân. 
 c)Gọi M là trung điểm của BE và vẽ tia AM cắt BC tại G. Chứng minh rằng: 
HCAH
HD
BC
GB

 
PHÒNG GD-ĐT CAM LỘ 
KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA NĂM HỌC 2008-2009 
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN 
Câu 1: (1 điểm) 
 4x +2009 2x +2008 x +2009 
 = ( 4x + 2x +1) +2008( 2x + x +1) 0,25 đ 
 = ( 2x + x +1)( 2x - x +1)+ 2008( 2x + x +1) 0.5 đ 
 = ( 2x + x +1)( 2x - x +2009) 0,25 đ 
Câu 2: ( 1 điểm) 
13
2x
+
15
452 x
=
37
83 x
+
9
694 x
  (
13
2x
+1)+(
15
452 x
-1)=(
37
83 x
+1)+(
9
694 x
-1) 0,25đ 
  

13
15x
15
)15(2 x
 =
37
)15(3 x
+
9
)15(4 x
 0,25đ 
  0)
9
4
37
3
15
2
13
1
)(15( x 0,25 đ 
  x=-15 0,25 đ 
Câu 3: (2 điểm) 
 a/ (1 điểm) 
2
44 ba  2233 babaab  
  44 ba 2233 222 babaab  0,25 đ 
  44 ba 2233 222 babaab  0 0,25 đ 
 )2()2( 22342234 baabbbabaa  0,25 đ 
 0)()( 2222  abbaba 0,25 đ 
 b/ (1 điểm) 
 P=
ba
11
 =
ab
ba 
=
ab
5
 0,25 đ 
 P=
2)(
20
4
20
baab 
 =
5
4
 0,5 đ 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 
5
4
 khi a=b=
2
5
 0,25 đ 
Câu 4 (2 điểm) 
a/ (1 điểm) 
 Ta có:  20082008 ba ( )())( 2006200620072007 baabbaba  0,25 đ 
  1= abba  0,25 đ 
  0)1)(1(  ba 0,25 đ 
  1,1  ba 
Vậy S=1+1=2 0,25 đ 
b/ (1 điểm) 
A=
26
4813532


A=
26
)132(532 2


 0,25 đ 
 =
26
)13(32 2


 0,25 đ 
 =
26
322


=
26
)26( 2


 0,25 đ 
 =1 Z 0,25 đ 
Câu 5 (1 điểm) 
 xy-2x-3y+1=0 
xy-3y=2x-1 
y(x-3)=2x-1 0,25 đ 
Ta thấy x=3 không thõa mãn,với x 3 thì 
 y=2+
3
5
x
 0,25 đ 
Để y nguyên thì x-3 phải là ước của 5 0,25 đ 
Suy ra: (x,y) là (4,7) ;(8,3) 0,25 đ 
Câu 6 (3 điểm) 
a) (1đ điểm) 
Tam giác ADC và tam giác 
BEC: 
CD CA
CE CB
 ( vì hai tam giác 
CDE và CAB đồng dạng) 
 Góc C: chung 0,75 đ 
Suy ra: Tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC (c-g-c) 0,25 đ 
b)(1 điểm) Theo câu ta suy ra: ADCBEC  
 có: 0135 ADEEDCADC 
 Suy ra: 0135BEC 0,5 đ 
 Suy ra: 045AEB 0,25 đ 
Do đó: Tam giác ABE cân( tam giác vuông có một góc bằng 45 0 ) 0,25 đ 
c)(1 điểm) 
Tam giác ABE cân tại E nên AM còn là phân giác của góc BAC 
Suy ra: 
GB AB
GC AC
 , mà    //
AB ED AH HD
ABC DEC ED AH
AC DC HC HC
     0,5 đ 
Do đó: 
GB HD GB HD GB HD
GC HC GB GC HD HC BC AH HC
    
  
 0,5 đ